Udowodnić, że odzworowanie jest metryką w zbiorze R

[rafalski_4]

Witam
Mam takie odwzorowanie:
\(d(x,y)= \frac{|x-y|}{1+|x-y|}\)

Muszę sprawdzić, czy jest ono metryką w zbiorze R.
Generalnie sprawdziłem:
1 warunek: d(x,y)=0 => x=y
2 warunek: d(x,y)=d(y,x)
ale nie mogę w żaden sposób udowodnić warunku 3 (nierówność trójkąta). Czy mógłby mi ktoś zaprezentować, jak to powinno wyglądać?
Z góry dzięki za pomoc.

[radagast]

10,90 pln i masz dowodzik na ekranie

[Panko]

można rozbić nierówność \(\Delta\) używając ciężkiego sprzętu .

np oznaczmy : \(a=|x-y|,b=|x-z|,c=|z-y|\) , wtedy \(a,b,c \ge 0\)
oraz korzystając ze szkolnej nierówności : \(|A+B| \le |A|+|B|\) jest \(\\) \(a \le b+c\) \(\\)\(\\) bo oczywiście \(|x-y|= |x-z+z-y| \le |x-z|+ |z-y|\)
........................................................................................................................
teraz masz do pokazania : \(\frac{a}{1+a} \le \frac{b}{1+b} + \frac{c}{1+c}\)
co po wymnożeniu stronami bo wszystko jest dodatnie ( mianowniki) daje nierówność
\(a \le abc+2bc+ b+c\) \(\\) \(\\)i ponieważ , \(a,b,c \ge 0\) oraz \(a \le b+c\) jest nierównością prawdziwą.