Pochodna i granica funkcji.. pomocy :/

[magda1221]

Czy ktos moglby mi pokazac jak krok po kroku wyliczyc pochodna z: \(y(x) = \frac{ \cos (x)}{ \sqrt{x} }\) i obliczyc granice funkcji \(\Lim_{x\to \pi } \frac{cos(x) + 1}{x - \pi }\)?
Mialam to na kolokwium i chcialabym wiedziec co mniej wiecej zrobilam zle :/

[panb]

Pochodną to sobie wpisz do Wolframa [wpisz: d/dx cos(x)/sqrt(x)] i sprawdzisz wynik.

Zakładam, że nie korzystamy z twierdzenia pana de...
\(\Lim_{x\to \pi} \frac{\cos x+1}{x-\pi}= \begin{vmatrix} t=x-\pi, \quad x=t+\pi\\x \to \pi \So t=x-\pi \to 0\end{vmatrix}= \Lim_{t\to0 } \frac{\cos(t+\pi)+1}{t}= \begin{vmatrix} \cos(t+\pi)=-\cos t\end{vmatrix}=\\
= \Lim_{t\to0 } \frac{1-\cos t}{t}= \begin{vmatrix} 1-\cos t=\sin t \cdot \tg \frac{t}{2} \end{vmatrix}=\Lim_{t\to0 } \left[ \tg \frac{t}{2} \cdot \frac{\sin t}{t}\right] =0 \cdot 1=0\)

[magda1221]

A jakos tak rozwiazac to na poziomie pierwszego semestru studiow? Chodzi raczej o poziom rozwiazywania rodem z filmikow e trapeza dla granic. Z pochodnej tez interesuje mnie sposob dzialania poza samym wynikiem :/

[panb]

Była reguła de l'Hospitala, czy nie?
Pochodną liczy się ze wzoru na pochodna ilorazu: \(\left( \frac{f}{g} \right)'= \frac{f' \cdot g-g' \cdot f}{g^2}\).
Co za problem?

[magda1221]

Przepraszam, Hospital byl wiec juz po problemie, zuperlnie o nim zapomnialam, a z pochodna mam problem, czy wystarczy ja doprowadzic do postaci: f(x) = \(\frac{- \sqrt{x}sinx - \frac{ \sqrt{x} cosx}{2x} }{x}\), da sie to jakos jeszcze uproscic?

[panb]

Zazwyczaj piętrowe ułamki trzeba zlikwidować.
Co się da przed nawias wyłączyć i takie tam.