Granica

[jkmfan]

Witam. Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności wykonanego przeze mnie zadania.

Mam policzyć granicę \(\Lim_{x\to- \infty } \sqrt{x^2+1} +x\)

Sprawdzam do czego dąży: \([ \sqrt{(- \infty )^2+1} - \infty] = [ \infty - \infty ]\) Wychodzi symbol nieoznaczony, więc musimy odpowiednio przekształcić wzór.

A więc mnożymy przez sprzężenie: \(\Lim_{x\to - \infty } = \sqrt{x^2+1}+x* \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}-x} = \Lim_{x\to - \infty } \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} -x}\)

Teraz ponownie sprawdzam do czego dąży: \([ \frac{1}{ \sqrt{(- \infty )^2+1}- (-\infty) }] = [ \frac{1}{ \infty } ]\)

A więc granica tej funkcji równa jest \(0\)

Z góry dziękuję za odpowiedź.

Pozdrawiam

[panb]

Wszystko OK, poza brakiem nawiasu w linijce:

A więc mnożymy przez sprzężenie: \(\Lim_{x\to - \infty } = \sqrt{x^2+1}+x* \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}-x} = \Lim_{x\to - \infty } \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} -x}\)

Powinno być \(\Lim_{x\to - \infty } = ( \sqrt{x^2+1}+x)* \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}-x} = \Lim_{x\to - \infty } \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} -x}\)

[jkmfan]

Mam jeszcze jedno pytanko.
Gdy liczymy granicę jednostronne \(\Lim_{x\to2^- } \frac{x^2-4}{|x-2|}\) i \(\Lim_{x\to2^+ } \frac{x^2-4}{|x-2|}\) to czy wartości bezwzględne opuszczamy kolejno \(\Lim_{x\to2^- } \frac{x^2-4}{-(x-2)}\) (ponieważ \(x<2\) i wartość w nawiasie będzie ujemna) i analogicznie \(\Lim_{x\to2^+ } \frac{x^2-4}{x-2}\)? Czy jest to dobre rozumowanie?

Z góry dziękuję za odpowiedź

[panb]

Masz zupełną rację.

[jkmfan]

Wielkie dzięki za pomoc Mam jeszcze jedno pytanko, a nie chce zakładać nowego wątku.

Nie mam pomysłu jak rozwiązać ten przykład:

\(\Lim_{x\to1^-} (1-x)^{sin \pi x}\)

Podstawiając jedynkę wychodzi \(0^{0}\)

Nie wiem co dalej robić.

[jkmfan]

Nie mogę znaleźć przycisku edycji posta, dlatego pisze kolejny, za co przepraszam.

Myślę, że uporałem się z tą granicą, lecz dla pewności bardzo proszę o sprawdzenie.

\(\Lim_{x\to1^- }(1-x)^{sin \pi x} = [0^0] = \Lim_{x\to 1^-} e^{sin \pi x*ln(1-x)}\)

Teraz badam granicę wykładnika: \(\Lim_{x\to 1-} sin \pi x*ln(1-x)=[0*(- \infty )]\)

Aby móc policzyć tą granicę reguła de l'Hospitala przekształcam do postaci: \(\Lim_{x\to1^- } \frac{ln(1-x)}{ \frac{1}{sin \pi x} }\)

Dalej liczę z de l'Hospitala \(\Lim_{x\to 1^-} \frac{ \frac{1}{(1-x)}*(-1) }{ \frac{1}{cos \pi x} }* \pi\)

Sprawdzam: \([ \frac{ \frac{1}{0^+} *(-1)}{(-1)}* \pi ]=+ \infty\)

A więc \(\Lim_{x\to1^- }(1-x)^{sin \pi x} = [e^ \infty] = \infty\)

Granica jest dosyć skomplikowana, więc bardzo możliwe, że gdzieś się pomyliłem

[panb]

Pomyliłeś się, bo pochodna \(\left( \frac{1}{\sin \pi x} \right)'=- \frac{\pi\cos\pi x}{\sin^2\pi x}\)
Jeszcze raz zastosuj Francuza do \(\frac{\sin^2\pi x}{1-x}\) i ...powinno wyjść (jak zwykle ) zero, a cała granica

\(\Lim_{x\to1^- } (1-x)\sin\pi x=1\)