Wyznacz asymptoty funkcji

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
konrad00
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 81
Rejestracja: 13 paź 2015, 11:20
Podziękowania: 43 razy
Płeć:

Wyznacz asymptoty funkcji

Post autor: konrad00 »

Wyznacz asymptoty funkcji g:
\(g(x)=x*ln( \frac{1}{x} + e)\)

Cholernie dziwny przykład, będę wdzięczny za pomoc.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Najgorsze są takie przykłady, które wyglądają niewinnie.
  1. Dziedzina.
    \(\frac{1}{x}+e>0 \iff \frac{1+ex}{x}>0 \iff x\neq0 \wedge x(1+ex)>0 \iff x\in (- \infty ,- \frac{1}{e}) \cup (0,+ \infty )\)
  2. Granice na końcach przedziału.
    \(\Lim_{x\to- \infty } x\ln(e+ \frac{1}{x})=- \infty \quad \left[ - \infty \cdot \ln(e+0)=- \infty \right] \\
    \Lim_{x\to- \frac{1}{e}^- } x\ln(e+ \frac{1}{x})=+ \infty\quad \left[- \frac{1}{e}(- \infty )=+ \infty \right]\\
    \Lim_{x\to 0^+}x\ln(e+ \frac{1}{x})= \Lim_{x\to0^+ } \frac{ \ln(e+ \frac{1}{x})}{ \frac{1}{x} } {H\atop =} \Lim_{x\to 0^+ } \frac{ -\frac{1}{x^2} }{ \frac{1}{x}+e } \cdot \frac{1}{ -\frac{1}{x^2} }= \Lim_{x\to 0^+} \frac{x}{1+ex}=0\\
    \Lim_{x\to+ \infty }x\ln(e+ \frac{1}{x}) =+ \infty \quad \left[ + \infty \cdot \ln(e+0)=+ \infty \right]\)
Wniosek: lewostronna asymptota pionowa \(\,\,x=- \frac{1}{e}\)

Szukamy asymptoty ukośnej \(y=ax+b\)
  • \(a= \Lim_{x\to \infty } \frac{g(x)}{x}= \Lim_{x\to \infty } \ln(e+ \frac{1}{x} )=1\\
    b= \Lim_{x\to \infty } \left( g(x)-ax\right)= \Lim_{x\to \infty }x \left(\ln(e+ \frac{1}{x})-1 \right)= \Lim_{x\to \infty } x \ln\frac{e+ \frac{1}{x} }{e}=\\= \Lim_{x\to \infty } \frac{\ln \left( 1+ \frac{1}{ex} \right) }{e \frac{1}{ex} }= \begin{vmatrix}t= \frac{1}{ex}\\x \to \infty \So \frac{1}{ex}=t \to 0 \end{vmatrix}= \frac{1}{e} \Lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}= \frac{1}{e} \cdot 1= \frac{1}{e}\)
Wniosek: asymptota ukośna \(\,\, y=x+ \frac{1}{e}\)
konrad00
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 81
Rejestracja: 13 paź 2015, 11:20
Podziękowania: 43 razy
Płeć:

Post autor: konrad00 »

Czyli asymptota ukośna będzie taka sama w + i - oo?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Tak z tego wynika.
konrad00
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 81
Rejestracja: 13 paź 2015, 11:20
Podziękowania: 43 razy
Płeć:

Post autor: konrad00 »

A jeszcze miałbym pytanie z podobnej dziedziny: Jak wyznaczyć największą wartość tej funkcji? Dziedzina pochodnej wychodzi mi inna niż dziedzina funkcji i nie wiem jak to interpretować.
\(f(x)=x^{-x}\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

A jaka masz dziedzinę funkcji (tak z ciekawości pytam)? Napisz jaka ci pochodna wyszła?
A tak na marginesie - funkcja ma maksimum dla \(x=e^{-1}\).
konrad00
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 81
Rejestracja: 13 paź 2015, 11:20
Podziękowania: 43 razy
Płeć:

Post autor: konrad00 »

Ufff, czyli jednak mi dobrze to maksimum wyszło. ;) Dziedzina funkcji to R\{0}, a dziedzina pochodnej, (0, +oo). Przynajmniej mi tak wyszło.
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

\(f(x)=x^{-x}\;\;\;\;\;x>0\)
\(x=e^{lnx}\\f(x)=(e^{lnx})^{-x}=e^{-xlnx}\)
\(f'(x)=(-1\cdot lnx\;-x\cdot \frac{1}{x}) \cdot e^{-xlnx}=(-lnx-1)e^{-xlnx}\)
\(f'(x)=0\\-1-lnx=0\\lnx=-1\\x=e^{-1}= \frac{1}{e}\)
\(f_{MAX}=f( \frac{1}{e} )=f(e^{-1})=(e^{-1})^{-1 \cdot e^{-1}}=e^{e^{-1}}=e^{ \frac{1}{e} }\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Dziedzina funkcji to też\((0,+\infty)\). Dla ujemnych iksów też nie ma wartości.
ODPOWIEDZ