Równianie różniczkowe

[Crus]

Rozwiąż równanie:
\(x^2- \frac{dy}{dx}-y=1\)
Nie potrafię rozdzielić zmiennych tak aby "y" były po jednej stronie. Albo robię to źle, albo równanie rozwiązuje się inną metodą aniżeli rozdzielenia zmiennych. Jakaś podpowiedź?

[radagast]

To nie jest równanie jednorodne. Zmienne się nie rozdzielą. Trzeba to zdobić w dwóch etapach.

[Crus]

Czy tak:
\(- \frac{dy}{dx}-y=1-x^2\)
\(- \frac{dy}{dx}-y=0\)
\(- \frac{dy}{dx}=y / \cdot dx\)
\(-dy=ydx / :y\)
\(- \frac{dy}{y}=dx / \cdot \int\)
\(- \int\frac{dy}{y}= \int_{}^{} dx\)
\(- \ln y=x+c\)
\(- y=e^{x+c}\)
\(- y=e^x \cdot e^c\)
\(y=-Ce^x\)

\(y=-C(x)e^x\)

\(y'= \left[-C(x)e^x \right]'=-C'(x) \cdot e^x-C(x) \cdot e^x\)

\(-C'(x) \cdot e^x-C(x) \cdot e^x-C(x)e^x=1-x^2\)
I w tym momencie C(x) powinny się zredukować a tak nie jest, więc gdzieś popełniam błąd...

[radagast]

\(x^2- \frac{dy}{dx}-y=1\)
\(\frac{dy}{dx}=-y+x^2-1\)
\(\frac{dy}{dx}=-y\) -jednorodne
\(\frac{dy}{y}=-dx\)
\(\int \frac{dy}{y}=- \int dx\)
\(\ln y=- x+C\)
\(y=e^{-x} \cdot D\)
uzmiennijmy stałą \(D\)
\(y=e^{-x} \cdot D(x)\)
\(\frac{dy}{dx} =-e^{-x} \cdot D(x)+ e^{-x} \cdot D'(x)\)
wstawmy to do równania wyjściowego:
\(-e^{-x} \cdot D(x)+ e^{-x} \cdot D'(x)=-e^{-x} \cdot D(x)+x^2+1\)
\(e^{-x} \cdot D'(x)=x^2+1\)
\(D'(x)=x^2e^{x} +e^{x}\)
\(D(x)= \int_{}^{} x^2e^{x} +e^{x} dx= (...)=e^x \left( x^2-2x+3\right) +E\)
Ostatecznie wiec rozwiązaniem równania \(x^2- \frac{dy}{dx}-y=1\) jest \(y=e^{-x} \cdot \left( e^x \left( x^2-2x+3\right) +E\right)\)
czyli
\(y= x^2-2x+3+E \cdot e^{-x},\ E \in R\)

[Crus]

Czy we wcześniejszym równaniu podstawiając do głównego równania na końcu nie powinno być: \(x^2-1\)

[radagast]

mogłam się pomylić ale nie mam siły tego sprawdzać

[Crus]

Dziękuję Ci bardzo za pomoc