Pochodna

[MianDa]

Mam pochodną z:



Obliczyłem ją i wyszedł mi jakiś kosmiczny wynik z tangensem z x/2 do potęgi czwartej pod kreską ułamkową i kupa sinusów i cosinusów, plus logarytm naturalny nad kreską, podczas gdy wolfram rozwiązuje ją jako:



Czy jest ktoś w stanie policzyć tą pochodną krok po kroku z wynikiem bez csc ?

(obrazki zamiast równań, bo jakoś nie chciało mi z edytora dobrze wyjść równanie)

[MianDa]

Nie widzę opcji "edytuj". Wyżej ma być pochodna z takiej funkcji:

[panb]

Nadal nic nie widać. Co to jest csc?

[MianDa]

cosecans (kosekans) – oznaczany w Polsce cosec lub csc – stosunek długości przeciwprostokątnej c i długości przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta ostrego α ; odwrotność sinusa.

To jest csc. A u mnie widać obrazki oba, z funkcja i jej rozwiązaniem z wolframa.

A jeśli ktoś nie widzi to słownie. Kreska ułamkowa. Nad kreską dwa do potęgi x razy cos x, pod kreską tangens do kwadratu z x/2

[panb]

A czemu nie tak ?

Kod: Zaznacz cały

[size=150][tex]\frac{2^x\cos x}{\tg^2 \left( \frac{x}{2}  \right) }[/tex][/size]

Efekt byłby taki : \(\frac{2^x\cos x}{\tg^2 \left( \frac{x}{2} \right) }\)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Pochodna licznika: \(L'=\left(2^x\cos x \right)'=2^x\ln2\cos x-2^x\sin x\)
Pochodna mianownika: \(M'=2\tg \left( \frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2\left( \frac{x}{2} \right)}= \frac{\tg\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}\)

• \(L' \cdot M= \left(2^x\ln2\cos x-2^x\sin x \right) \cdot \tg^2 \frac{x}{2}=2^x \left(\ln2\cos x\tg^2\frac{x}{2}-\sin x\tg^2\frac{x}{2} \right)\)
  Ponieważ \(\tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-\cos x}{1+\cos x}\), więc \(L' \cdot M= \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \left( \ln2 \cdot \cos x -\sin x \right)2^x\)

• Ponieważ \(\tg\frac{x}{2}= \sqrt{ \frac{1-\cos x}{1+\cos x} }= \frac{\sin x}{1+\cos x}= \frac{1-\cos x}{\sin x}\), natomiast \(\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}\) więc
  \(L \cdot M'=2^x\cos x \cdot \frac{\tg\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}=2^x\cos x \cdot \frac{1-\cos x}{\sin x} \cdot \frac{2}{1+\cos x}=2^{x+1} \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)

\(\left[\frac{2^x\cos x}{\tg^2 \left( \frac{x}{2} \right) } \right]'= \frac{L'M-LM'}{M^2}= \frac{2^x \cdot \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \left(\ln2\cos x-\sin x- \frac{2}{\tg x} \right) }{\tg^4\frac{x}{2}}= \frac{2^x\left(\ln2\cos x-\sin x- \frac{2}{\tg x} \right)}{\tg^2\frac{x}{2}}\)

I tak to mniej więcej wygląda (bez csc). Sprawdź rachunki, bo jak widać, łatwo się było pomylić.

[MianDa]

Skąd bierze się przejście z tg(x/2) na pierwiastek z 1-cos x przez 1+ cos x ? Dlaczego x/2 zamienilo się na x ? To zakładam że jakiś gotowy wzór, czy mógłbyś go w ogólnej postaci przytoczyć ?

Ja to liczyłem tak:



Czy to obliczenie jest ok i równoważne jest Twojemu ?

Obrazek ucięło w oknie postu. Prawym przyciskiem na nim i "pokaż obraz" Wtedy pokaże całość.

[panb]

Wzory możesz znaleźć wszędzie, np. tutaj
https://www.medianauka.pl/wzory_trygonometryczne

[MianDa]

Ok, wzory widzę. Ale czy moje obliczenia są w porządku, w takiej postaci w jakiej są ? Czy mój i Twój wynik są równoważne ?

[panb]

Powiem tak,a czyje to zadanie?
Przejrzyj moje rozwiązanie, jeśli czegoś nie rozumiesz albo coś przeskoczyłem - pytaj. Chętnie wyjaśnię.