odleglosc pkt P od prostej l

[twix90]

Musze znalezc odleglosc punktu P=(0,0,2) od prostej \(\begin{cases} x=2+2t\\y=2t\\z=2t\end{cases}\).

[radagast]

Musze znalezc odleglosc punktu P=(0,0,2) od prostej \(\begin{cases} x=2+2t\\y=2t\\z=2t\end{cases}\).

Poprowadźmy płaszczyznę \(\pi\) prostopadłą do podanej prostej przechodzącą przez podany punkt
Wektor kierunkowy prostej \(\left[ 2,2,2\right]\) jest prostopadły do \(\pi\), zatem
\(\pi :2x+2y+2z+D=0\), przy czym \(\cdot 0+2 \cdot 0+2 \cdot 2+D=0\)
no to \(\pi :2x+2y+2z-4=0\)
a po skróceniu: \(\pi +y+z-2=0\)

Przetnijmy teraz naszą prostą z płaszczyzną \(\pi\):
\(x+y+z-2=0\)
\(2+2t+2t+2t-2=0\)
\(t=0\)
zatem punkt przecięcia prostej z płaszczyzną \(\pi\)to \(\left(2,0,0 \right)\)
No to odległość punktu P od podanej prostej jest taka jak odległość punktów \(\left( 2,0,0\right)\) i \(\left( 0,0,2\right)\) wynosi więc \(\sqrt{8}\)

[twix90]

Jak odczytales punkt przeciecia prostej z plaszczyzna, tj (2,0,0)?

[radagast]

Wstawiłam do równania płaszczyzny współrzędne punktu wynikające z przedstawienia parametrycznego prostej i obliczyłam \(t\)

[twix90]

Rozumiem, a czy mozesz powiedziec czy moj sposob jest prawidlowy?

P=(0,0,2)
v = [2,2,2]

A=(2+2t, 2t, 2t)
PA' = (2+2t, 2t, 2t-2)

PA o V =4+4t+4t+4t-4 = 12t

t=0

pkt przeciecia (2,0,0)
P (0,0,2)

Odleglosc miedzy nimi:

sqrt{(x-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2} = sqrt{4+4} = sqrt{8}

[radagast]

Jak najbardziej . Lepszy niż mój, bo prostszy.