Witam, czy może mi ktoś dokładnie wytłumaczyć jak zbadać ciągłość takiej funkcji:
\(f(x) = \begin{cases} x^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ x \in R-Q;\\ 3x-2 \ dla\ x \in Q \end{cases}\)
Będę bardzo wdzięczny.
Zbadaj ciągłość funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
\(x^2=3x-2 \iff x=1 \vee x=2\)
Niech \(q\in \qq \bez \left\{1,2 \right\} \So q^2 \neq 3q-2\)
\(f(q)=3q-2\)
\(a_n=q+ \frac{\sqrt2}{n} \So a_n\in \rr\bez\qq \wedge \Lim_{n\to \infty }a_n =q\,\, \text{ więc }\,\, f(a_n)=a^2_n \wedge \Lim_{n\to \infty } f(a_n)=q^2\\
b_n=q+ \frac{1}{n} \So b_n\in \qq \wedge \Lim_{n\to \infty }b_n=q \,\,\text{ więc } \,\, f(b_n)=3b_n-2 \wedge \Lim_{n\to \infty } f(a_n)=3q-2\)
Ponieważ \(q^2\neq 3q-2\), więc granica dla \(x=q\) nie istnieje.
Podobna argumentacja ma miejsce dla dowolnej liczby \(w\in \rr \bez \qq\) i prowadzi do wniosku, że funkcja f nie jest ciągła w żadnym punkcie niewymiernym.
Jedyne punkty, dla których granica istnieje i jest równa wartości funkcji, to te dla których \(x^2=3x-2\).
Stąd odpowiedź udzielona przez @radagast.
Niech \(q\in \qq \bez \left\{1,2 \right\} \So q^2 \neq 3q-2\)
\(f(q)=3q-2\)
\(a_n=q+ \frac{\sqrt2}{n} \So a_n\in \rr\bez\qq \wedge \Lim_{n\to \infty }a_n =q\,\, \text{ więc }\,\, f(a_n)=a^2_n \wedge \Lim_{n\to \infty } f(a_n)=q^2\\
b_n=q+ \frac{1}{n} \So b_n\in \qq \wedge \Lim_{n\to \infty }b_n=q \,\,\text{ więc } \,\, f(b_n)=3b_n-2 \wedge \Lim_{n\to \infty } f(a_n)=3q-2\)
Ponieważ \(q^2\neq 3q-2\), więc granica dla \(x=q\) nie istnieje.
Podobna argumentacja ma miejsce dla dowolnej liczby \(w\in \rr \bez \qq\) i prowadzi do wniosku, że funkcja f nie jest ciągła w żadnym punkcie niewymiernym.
Jedyne punkty, dla których granica istnieje i jest równa wartości funkcji, to te dla których \(x^2=3x-2\).
Stąd odpowiedź udzielona przez @radagast.