Granica do policzenia, raczej napewno wynik z e

[exeq]

Witam,

jak w tytule musze obliczyc granice, wiem ogolnie jak sie liczy ale z tym przykladem mam jakis problem. przyklad jest taki:

\(\lim_{ n\to \infty } \left( \frac{n+1}{n+7} \right) ^{2n+5}\)

bardzo prosze o pomoc widac na pierwszy rzut oka ze wynik bedzie z liczba e, w srode poprawa matmy..

[escher]

\(\left(\frac{n+1}{n+7}\right)^{2n+5}=\left[\left(1-\frac{6}{n+7}\right)^{\frac{n+7}{6}}\right]^{12}\left(\frac{n+1}{n+7}\right)^{-9}\)

[Szimi10]

\(\lim_{n\to \infty}(\frac{n+1}{n+7})^{2n+5} =\lim_{n\to \infty} (1-\frac{6}{n+7})^{(-\frac{n+7}{6})\cdot (-\frac{6}{n+7})\cdot (2n+5)}= \lim_{n\to \infty} e^{-\frac{12n+30}{n+7}} =e^{(-12)}\)

Pozdrawiam
Szymon.

[escher]

A za to akurat można zostać ukaranym mimo, że wynik jest poprawny. Po prostu e pojawia się zbyt szybko, a nie można przechodzić do granicy tylko z częścią n w wyrażeniu.
escher

[Szimi10]

Mhmm... szczerze mówiąc perwsze o tym słyszę, znaczy, że źle mnie nauczono? ;p

[escher]

Być może uczono dobrze, a może ktoś uznał, że ponieważ w tego typu przykładach to działa, to nie będzie się rozwodził nad tym dlaczego działa.
Według mnie ten fragment rozwiązania:

\(\lim_{n\to \infty} e^{-\frac{12n+30}{n+7}}\)

nie powinien się pojawić.

Pytanie z jakich twierdzeń tu korzystamy. Najczęściej takie:
Jeśli \(a_n\to A\) i \(b_n\to B\) to wtedy \(a_n^{b_n}\to A^B\)
sie na wykładach nie pojawia. Miałoby zbyt dużo szczególnych przypadków. Nawet w przypadku \(A=e\) lepiej byc ostrożnym.

Podam taki przykład niepoprawnego obliczenia:
\(\lim_{n\to \infty}\left( \frac{(\frac{n+1}{n})^n}{e}\right)^n=\lim_{n\to \infty}\left( \frac{e}{e}\right)^n=\lim_{n\to \infty} 1^n =1.\)

A faktycznie ta granica jest mniejsza od 1 i wynosi \(\frac{1}{\sqrt{e}}\)
W zasadzie jesteśmy bezpieczni dopóki gdzieś nie wchodzi wyrażenie nieoznaczone, ale to dość śliski grunt.
Pozdrawiam
escher.

P.S. stosując rozkład z mojego poprzedniego posta można dojść do poprawnego wyniku \(e^{-12}\) stosując standardowe twierdzenia o działaniach na granicach oraz to, że
Jeśli \(a_n\to 0\) to \((1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}\to e\).

[Szimi10]

Mhmm.. dziękuję za konstruktywną krytykę, ja jednak będę się starał bronić mojego rozwiązania.
Sposób którym ja rozwiązałem może nie jest uniwersalny/kompletny, ale jest poprawny.
Ponieważ to jest kwestia doboru sposobu rozwiązania do danego zadania. Chodzi mi o to, że jeśli jakaś metoda nie sprawdza sie w jakichś przypadkach, to nie znaczy, że jest ona błędna czy coś takiego.
Myślę, że jedyny sposób w jaki mogę zostać ukarany to będzie sytuacja kiedy w granicy wyjdzie mi symbol nieoznaczony (po czym będę musiał się wracać), to może być dość sroga kara jeśli chodzi o czas i włożoną pracę na wykonanie danego zadania.
Uważam również, że jeśli coś prowadzi mnie do symbolu nieoznaczonego znaczy to, że nie dobrałem odpowiednich narzędzi do zrobienia zadania, co jednak nie znaczy, że narzędzia jako takie są złe, albo że obliczenia które wykonałem były złe.

\(\lim_{n\to \infty}(\frac{e}{e})^n= \lim_{n\to \infty} 1^n=1\)

Mogłeś napisać, że wynikiem jest \(1^n\), ale nie mogłeś napisać, że jest to jeden. Jest to (jak sam pisałeś) symbol nieoznaczony, tak więc sposób nie prowadzi do rozwiązania ...=1 ale prowadzi do symbolu nieoznaczonego. Chcę powiedzieć, że nie daje on nam złego wyniku daje tylko wynik nieokreślony, coś jakby jego brak (to ta wspomniana kara jaką jest strata czasu).
To jest swego rodzaju ryzyko, stosuję metodę w której poruszam się sprawniej, szybciej i zarabiam sekundy, i sie nie mylę, ale nie zawsze można z niej wycisnąć wynik, jak napisałeś, na śliskim gruncie można się przejechać .

Tak na marginesie, znakomity awatar.

Pozdrawiam, oraz jeszcze raz dziękuję za wszelkie uwagi, które oczywiście doceniam i za które jestem wdzięczny, bo to z nich można najwięcej wynieść
Szymon.

[escher]

\(\lim_{n\to \infty}(\frac{e}{e})^n= \lim_{n\to \infty} 1^n=1\)

Mogłeś napisać, że wynikiem jest \(1^n\), ale nie mogłeś napisać, że jest to jeden.

Akurat w tym fragmencie, który zacytowałeś nie ma żadnego błędu. To jest poprawnie obliczona granica ciągu stałego. Błąd w tym przykładzie pojawił się wcześniej.
Właśnie dlatego zwróciłem uwagę na twoje rozwiązanie, bo mimo, że nie ma w nim nieprawdziwej równości, to jednak jest napisane wbrew zasadzie dydaktycznej, że nie należy przechodzić ze zmienną do granicy tylko w części napisu (w oddzielnych krokach). Należy to robić naraz (ewentualnie przenosząc jakiś fragment obliczeń "na bok"), bo "niewprawne oko" nie zauważy kiedy robi błąd.

Tak na marginesie, znakomity awatar.

Dzięki. Też mi się podoba. Szkoda, że nie jest wykonany w 100% osobiście. Jak znajdę czas, to pewnie trzeba będzie robić nową animację, ale na razie nie ma czasu
Pozdrawiam