wylicz najmniejsza wartosc funkcji f

[exeq]

Witam,

nie wiem czy dobry dzial ale mam juz dosyc matmy dzis, dlatego przepraszam jak zly.

mam takie zadanie:
Niech f : [0,\(\infty\))\(\rightarrow\)R dana bedzie wzorem \(f \left(x\right)=x+ \frac{4}{x+1}\). Wyliczyc najmniejsza wartosc funkcji f.

bardzo prosze o pomoc, poprawa z matmy tuz tuz ;/

[escher]

Dział dobry. Badanie funkcji wchodzi w zakres analizy matematycznej.

Funkcja f jest różniczkowalna na całej swojej dziedzinie, więc możemy użyc pochodnej do szukania najmniejszej wartości funkcji. Ponieważ widać, że funkcja dla dużych \(x\) przyjmuje duże wartości (bo decyduje pierwszey składnik sumy), to wartość najmniejsza na pewno będzie osiągnięta. Może się to zdarzyć albo na końcu przedziału, czyli w zerze albo w punkcie, w którym pochodna jest równa 0.

Ponieważ
\(f'(x)=1-\frac{4}{(x+1)^2 }\), to tym drugim punktem może być \(x=1\).
\(f(1)=3, a f(0)=4\) więc najmniejszą wartością funkcji jest 3.

Widać zresztą, że pochodna jest ujmna dla \(x\in[0,1)\) i dodatnia dla \(x>1\), więc funkcja najpierw maleje, osiąga minimum w \(x=1\) i dalej rośnie.

[exeq]

kolego escher, czy moglbys mi wytlumaczyc skad sie wzielo \(f'(x)=1- \frac{4}{(x+1)^2}\)? jak ja liczylem przez wzor na iloraz to wyszlo mi: \(f'(x)=1- \frac{x-3}{(x+1)^2}\) jednak dowiedzialem sie ze nie mozna uzyc tego wzoru. bardzo prosze o pomoc.

[escher]

jednak dowiedzialem sie ze nie mozna uzyc tego wzoru.

Do kawałka \(\frac{4}{x+1}\) oczywiście można użyć wzoru na pochodną ilorazu, tylko trzeba to zrobić poprawnie. Otóż pierwszy składnik licznika się zeruje, bo pochodna ze stałej jest równa zero.

Niestety trudno jest poprzez takie forum uczyć podstawiania do wzorów. Co najwyżej można same wzory podawać. Ja konkretnie do obliczenia pochodnej (choć umiałem to zrobić ręcznie) użyłem komendy diff(x+ 4/(x+1)) w programie wxMaxima. To taki darmowy program do obliczeń matematycznych (na literkach, a nie tylko konkretnych liczbach).
Pozdrawiam
escher