granica logartmu

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
pati90
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 27 sty 2010, 18:54

granica logartmu

Post autor: pati90 »

Hej, mam problem z takim zadaniem:
policz granice:
\(lim \frac{log _{4} (n+2)}{log _{5} (n-1)}\)


\(lim log _{n} (n+1)\)

zabardzo nie wiem jak sie nawet za to zabrac i nie moge nigdzie znalzc podobnego przykladu. Bardzo prosze o jakas pomoc:) najlepiej wytlumaczenia tak zebym byla w stanie zrozumiec;
Awatar użytkownika
escher
Moderator
Moderator
Posty: 308
Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 68 razy

Post autor: escher »

Wzór na zmianę podstawy logarytmu się przyda.
Ten drugi przykład można tak chyba:
\(\lim_{n\to\infty} \log_n(n+1)=\lim_{n\to\infty} \log_n n\frac{(n+1)}{n}=\lim_{n\to\infty} \log_n n + \log_n\frac{n+1}{n}= 1+\lim_{n\to\infty} \frac{\log_2\frac{n+1}{n} }{\log_2{n} }=1+0=1\)
Zamiast \(\log_2\) mozna oczywiście użyć dowolnego innego.

Z pierwszym teraz już łatwo bo np.:
\(\lim_{n\to\infty} \frac{\log_4(n+2)}{\log_5(n-1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n+2) \ln 5}{\ln 4\ln(n-1)} = \frac{\ln 5}{\ln 4}\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n+2)}{\ln(n-1)}=\log_4 5\lim_{n\to\infty} \log_{n-1}(n+2)=\log_4 5\)
Z granicą \(\lim_{n\to\infty} \log_{n-1}(n+2)\) postępujemy jak wyżej z\(\lim_{n\to\infty} \log_n(n+1)\).
ODPOWIEDZ