monotoniczność ciągu

[martales3]

Rozwiązałam, ale czy poprawnie? Proszę o odpowiedź.
Zbadaj monotoniczność ciągu:
a) \(a_n=2 \times {5}^{n}-3\\
a_{n+1}=2 \times {5}^{n}^{+1}-3=2 \times {5}^{n} \times 5-3\\
{a}_{n}_{+1}-a_n=(2 \times {5}^{n} \times 5-3)-(2 \times {5}^{n}-3)=\) i tu się zaciełam
podobnie jest z kolejnym przykładem
b) \(an={{2}^{n}/n!}\)
Proszę o pomoc i z góry dziękuję

[martales3]

Nie wiem dlaczego LaTex nie zadziałał?

[supergolonka]

Dolar nie działa trzeba używać znacznika 'tex'

[Pol]

a)
\((2\cdot 5^n\cdot 5-3)-(2\cdot 5^n-3) = \\
10\cdot 5^n-2\cdot 5^n = \\
5^n(10-2)=5^n\cdot 8 \ > \ 0\)

ciąg rosnący

b) zazwyczaj się sprawdza czy zachodzi nierówność typu \(a_n_+_1 \ > \ a_n\)
jeśli mamy do czynienia z dodatnimi elementami ciągu (bo tyko takie sa w ciagu w przykladzie b) ) to smialo można powyższe równanie podzielić np przez \(a_n\) i zbadać jak się zachowa stosunek kolejnych wyrazów ciągu ( < 1, > 1, = 1)

\(\frac {a_n_+_1} {a_n} =
\frac {\frac {2^n^+^1} {(n+1)!}} {\frac {2^n} {n!}} = \frac {\frac {2\cdot 2^n} {(n+1)\cdot n!}} {\frac {2^n} {n!}} = \frac {2} {n+1} \leq 1\)

ciąg malejący dla n >= 2