zbadać ciągłość funkcji f(x)={ xarctg1/x dla x≠0
0 dla x=0
ciągłość funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
escher
- Moderator
- Posty: 308
- Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 68 razy
zbadać ciągłość funkcji
\(f(x)= \begin{cases}
x \arct \frac{1}{x} \text{ dla } x \neq 0\\
0 \text{ dla } x=0 \end{cases}\)
Jako, że funkcja arcus tangens jest ciągła, dla x poza zerem oczywiście funkcja dana powyższym wzorem jest ciągła
(jako iloraz (o mianowniku niezerowym), złożenie i iloczyn funkcji ciągłych).
Pozostaje zbadać ciągłość w zerze, czyli sprawdzić, czy granica funkcji w zerze jest równa wartości funkcji, czyli 0.
Metoda, którą chcę zastosować zmusza mnie, abym liczył granice jednostronne:
\(\lim_{x\to 0^+} x \arct \frac{1}{x} = (*)\) podstawiamy \(x=1/tan(t),\) czyli \(t=\arct(1/x)\), aby pozbyć się arcusa. Skoro x ma dążyć do zera z prawej strony, to tangens t musi dążyć do +nieskończoności. a więc t dąży do \(\pi/2\).
\((*)=\lim_{t\to\pi/2} \frac{t}{\tan(t)}=0\). Analogicznie wyjdzie granica lewostronna równa zero, czyli funkcja jest ciągła.
Być może wygodniejszą metodą jest posłużenie się regułą de l'Hospitala aby pozbyć się arcusa.
Mamy wtedy
\(\lim_{x\to 0} \frac{ \arct \frac{1}{x} }{\frac{1}{x} }= [\frac{\infty}{\infty}] = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{-1}{1+x^2}}{\frac{-1}{x^2}}= \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1+x^2}=0\).
Wniosek: f jest ciągła w zerze, a więc i na całej prostej.
\(f(x)= \begin{cases}
x \arct \frac{1}{x} \text{ dla } x \neq 0\\
0 \text{ dla } x=0 \end{cases}\)
Jako, że funkcja arcus tangens jest ciągła, dla x poza zerem oczywiście funkcja dana powyższym wzorem jest ciągła
(jako iloraz (o mianowniku niezerowym), złożenie i iloczyn funkcji ciągłych).
Pozostaje zbadać ciągłość w zerze, czyli sprawdzić, czy granica funkcji w zerze jest równa wartości funkcji, czyli 0.
Metoda, którą chcę zastosować zmusza mnie, abym liczył granice jednostronne:
\(\lim_{x\to 0^+} x \arct \frac{1}{x} = (*)\) podstawiamy \(x=1/tan(t),\) czyli \(t=\arct(1/x)\), aby pozbyć się arcusa. Skoro x ma dążyć do zera z prawej strony, to tangens t musi dążyć do +nieskończoności. a więc t dąży do \(\pi/2\).
\((*)=\lim_{t\to\pi/2} \frac{t}{\tan(t)}=0\). Analogicznie wyjdzie granica lewostronna równa zero, czyli funkcja jest ciągła.
Być może wygodniejszą metodą jest posłużenie się regułą de l'Hospitala aby pozbyć się arcusa.
Mamy wtedy
\(\lim_{x\to 0} \frac{ \arct \frac{1}{x} }{\frac{1}{x} }= [\frac{\infty}{\infty}] = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{-1}{1+x^2}}{\frac{-1}{x^2}}= \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1+x^2}=0\).
Wniosek: f jest ciągła w zerze, a więc i na całej prostej.