szukanie odciętej punktu

[pau00]

Hej mam problem z następującym zadaniem:
Dana jest parabola\(y=x^{2}+ 5x\)oraz punkty A (0,0); B(x,0;)\(C(x, x^{2}+5x),\)punkt B leży między miejscami zerowymi paraboli. Znajdź odciętą punktu B, dla której pole trójkąta ABC jest największe.
Z góry bardzo dziękuje za pomoc

[irena]

Miejsca zerowe paraboli:
\(x^2+5x=0 \Leftrightarrow x(x+5)=0 \Leftrightarrow x=-5 \vee x=0\\x \in (-5;\ 0)\)
Pole trójkata ABC:
\(P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot\ h\), gdzie h- odległość punktu C od prostej AB.

Równanie prostej AB: y=0

|AB|=|x|

\(h=\frac{|x^2+5x|}{\sqrt{0^2+1^2}}=|x^2+5x|\)

Pole trójkąta ABC:

\(P(x)=\frac{1}{2}\cdot|x|\cdot|x^2+5x|=\frac{1}{2}\cdot|x(x^2+5x)|=\frac{1}{2}\cdot|x^2(x+5)|=\frac{1}{2}|x^2|\cdot|x+5|\\x^2 \ge 0 \Rightarrow |x^2|=x^2\\x \in (-5;0) \Rightarrow x+5>0 \Rightarrow |x+5|=x+5\\P(x)=\frac{1}{2}x^3+\frac{5}{2}x^2\)

\(P'(x)=\frac{3}{2}x^2+5x=0 \Leftrightarrow x(\frac{3}{2}x+5)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=-\frac{10}{3}\)

\(P'(x)>0 \Leftrightarrow x \in (-5;\ -\frac{10}{3})\\P'(x)<0 \Leftrightarrow x \in (-\frac{10}{3};0)\)
Funkcja P(x) ma maksimum dla \(x=-\frac{10}{3}\).

Największe pole będzie miał trójkąt ABC dla \(x=-\frac{10}{3}\).

[pau00]

A jeżeli mam dane, że punkt B leży między miejscami zerowymi paraboli (-1<x<0) to liczę w podobny sposób?

[irena]

A możesz dać konkretne zadanie?

[pau00]

Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(0,0); B(x,0); \(C(x, -x^{2}+2x)\), gdzie 0<x<2. (Uwaga! Punkty A i C leżą na paraboli \(y=-x^{2}+2x\), punkt B leży na osi odciętych między miejscami zerowymi paraboli). Oblicz odciętą punktu B, dla którego pole trójkąta jest największe

[irena]

Miejsca zerowe;
\(-x^2+2x=0 \Leftrightarrow -x(x-2)=0 \Leftrightarrow x=0\ \vee \ x=2\), czyli \(x \in (0;\ 2)\)

Pole trójkąta ABC:
\(P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot\ h\), gdzie h- odległość punktu C od prostej AB. Równanie prostej AB: y=0

\(|AB=|x|\\h=\frac{|0\cdot\ x+1\cdot(-x^2+2x)|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{|-x^2+2x|}{1}=|-x^2+2x|\)

Pole trójkąta:
\(P(x)=\frac{1}{2}\cdot|x|\cdot|-x^2+2x|=\frac{1}{2}\cdot|x^2|\cdot|-x+2|\)

\(x \in (0;\ 2) \Rightarrow -x+2>0 \Rightarrow |-x+2|=-x+2\\|x^2|=x^2\)

\(P(x)=\frac{1}{2}\cdot\ x^2\cdot(-x+2)=-\frac{1}{2}x^3+x^2\)

\(P'(x)=-\frac{3}{2}x^2+2x\\P'(x)=0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2}x(3x-4)=0 \Leftrightarrow x=0\ \vee \ x=\frac{4}{3}\\0 \notin D_P\\\frac{4}{3} \in D_P\)

\(P'(x)>0 \Leftrightarrow x \in (0;\ \frac{4}{3})\\P'(x)<0 \Leftrightarrow x \in (\frac{4}{3};\ 2)\)

W punkcie \(x=\frac{4}{3}\) funkcja P(x) osiąga maksimum.

Pole trójkąta ABC jest największe dla \(x=\frac{4}{3}\).