ciągi

[agata0987]

Mam takie ciągi:
\(\lim_{x\to \infty } \sqrt{n+2}- \sqrt{n}=\)
\(\lim_{x\to \infty } \frac{5*3^(2n)-1}{4*9^n+7} =\)
\(\lim_{x\to \infty } \frac{4^(n-1)-5}{2^(2n)-7}=\)
\(\lim_{x\to \infty } ( \frac{n+5}{n}) ^n=\)

juz je obliczylam, ale nie jestem pewna co do wyników. moze ktos pomoze?

[jola]

\(\lim_{n\to \infty }\ ( \sqrt{n+2}- \sqrt{n)}\ =\ \lim_{n\to \infty }\ \frac{( \sqrt{n+2}- \sqrt{n})( \sqrt{n+2} + \sqrt{n} ) }{ \sqrt{n+2}+ \sqrt{n} }\ =\ \lim_{n\to \infty }\ \frac{n+2-n}{ \sqrt{n+2}+ \sqrt{n} }\ =\ \lim_{n\to \infty }\ \frac{2}{ \sqrt{n+2} + \sqrt{n}}\ =\ 0\)


\(\lim_{n\to \infty }\ \frac{5 \cdot 3^{2n}-1}{4 \cdot 9^n+7}\ =\ \lim_{n\to \infty }\ \frac{5 \cdot 9^n-1}{4 \cdot 9^n+7}\ =\ \lim_{n\to \infty }\ \frac{5- \frac{1}{9^n} }{4+ \frac{7}{9^n} }\ = \frac{5}{4}\)


\(\lim_{n\to \infty }\ \frac{4^{n-1}-5}{2^{2n}-7}=\ \lim_{n\to \infty } \ \frac{ \frac{1}{4} \cdot 4^n -5}{4^n-7}=\ \lim_{n\to \infty }\ \frac{ \frac{1}{4}- \frac{5}{4^n} }{1- \frac{7}{4^n} } \ =\ \frac{1}{4}\)


\(\lim_{n\to \infty }\ (1+ \frac{5}{n})^n\ =\ \lim_{n\to \infty }\ (1+ \frac{5}{n})^{ \frac{n}{5} \cdot 5}\ =\ e^5\)

[Szimi10]

1. \(\lim_{x\to \infty } \sqrt{x+2} - \sqrt{x}= \lim_{x\to \infty }( \sqrt{x+2} - \sqrt{x}) \cdot \frac {\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to \infty} \frac{x+2-x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}=0\)

2. \(\lim_{x\to \infty} \frac{5\cdot 3^{2n}-1}{4\cdot 9^n+7}= \lim_{x\to \infty} \frac{5\cdot 9^n-1}{4\cdot 9^n+7}=\lim_{x \to \infty} \frac{9^n(5-\frac{1}{9^n})}{9^n(4+\frac{7}{9^n})}=\frac{5}{4}\)

3.\(\lim_{x\to \infty} \frac{4^{n-1}-5}{2^{2n}-7}= \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{1}{4}\cdot 4^n-5}{4^n-7}= \lim_{x\to \infty }\frac{4^n(\frac{1}{4}-\frac{5}{4^n})}{4^n(1-\frac{7}{4^n})}=\frac{1}{4}\)

4. \(\lim_{x\to \infty} (\frac{n+5}{n})^n = \lim_{x\to infty} (1+\frac{5}{n})^n= \lim_{x\to \infty} (1+\frac{5}{n})^{\frac{n}{5}\cdot \frac{5}{n}\cdot n}=e^{\frac{5n}{n}=e^5}\)

Może pokrótce opisze tok mojego myślenia:
1. Skorzystałem ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2 - b^2\). Licznik jest liczbą stała a mianownika dąży do nieskończoności, wniosek: granica = 0

2. i 3. Wyciągnąłem z licznika i z mianownika ten sam czynnik (w myślach go sobie skróciłem). Zyskałem to, że czynnik pojawił mi sie w mianowniku (liczby stałej) przez co ściągał ją do 0 (bo \(n \to \infty\)), oraz to że pozostawił mi też wolną liczbę (a). 0+a=a.

4. Korzystam z tej granicy: \(\lim_{x\to \infty} (1+\frac{a}{x})^{\frac{x}{a}}=e\)

Jeśli mógłbym mieć uwagę oraz prośbę, to następnym razem, jeśli masz wyniki proponuję abyś je tutaj umieściła .

Pozdrawiam
Szymon.