Bardzo proszę o wytłumaczenie.... mam jutro egzamin, a w ogóle nie rozumiem jak to się robi :<
\(1) \lim_{x\to\infty} x^2 e^-^2^x\)
\(2) \lim_{x\to\0} x ctg2x\)
\(3) \lim_{x\to\0} \frac{sin^2(\frac{x}{2}) sin^2 2x}{3x^4}\)
\(4) \lim_{x\to\infty} arcsin \frac{x}{2x+1}\)
Granica [chyba de'hospital]
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
m.milewska
- Rozkręcam się
- Posty: 39
- Rejestracja: 29 paź 2008, 17:26
-
Szimi10
- Często tu bywam
- Posty: 175
- Rejestracja: 16 kwie 2009, 16:51
- Otrzymane podziękowania: 38 razy
Witam, jeśli chodzi o wytłumaczenie o co chodzi, to tutaj: http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=6329
w miarę dokładnie to opisałem, na podanym przykładzie. Postaram się jednak dość czytelnie to rozwiązać bez większego tłumaczenia. Jak już napisałem odsyłam pod powyższy link.
1. \(\lim_{x\to \infty} x^2e^{-2x} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{e^{2x}} =_H ^{[\frac{\infty}{\infty}]} \\ \lim_{x\to \infty } \frac{(x^2)'}{(e^{2x})'} = \lim_{x\to \infty} \frac{2x}{e^{2x}\cdot 2}=_H^{[\frac {\infty}{\infty}]} \lim_{x\to \infty} \frac{1}{e^{2x} \cdot 2} = 0\)
2.
\(\lim_{x\to 0 } x ctg2x =^{[0\cdot \infty]} \lim_{x\to 0} \frac{ctg2x}{\frac{1}{x}}=^{[\frac{\infty}{\infty}]}_H \lim_{x\to 0} \frac{(ctg2x)'}{(\frac{1}{x})'} = \lim_{x\to 0} \frac{(-\frac{1}{sin^22x})\cdot 2}{-\frac{1}{x^2}} = \\ = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{2}{sin^22x}}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2}{sin^22x}= \lim_{x\to 0} (\frac{2x}{sin2x})^2\cdot \frac {1}{2}= \frac{1}{2}\)
Przykłady 3 i 4 postaram się streścić, jestem głęboko przekonany, że sobie z tym poradzisz, w razie problemów pisz tutaj, postaram się odpowiedzieć jeśli tylko znajdę chwilę czasu.
Ad 3. Za to zadania zabrałbym się nie z reguły de l'Hospitala a ze znanych granic, a mianowicie z tej: \(\lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x}=1\) (zaznaczę tylko że jak jest coś do kwadratu to powinno wyglądać to tak:\(\lim_{x\to 0} \frac{sin^24x}{16x^2} = \lim_{x\to 0} (\frac{sin4x}{4x})^2=1^2=1\). Trzeba będzie tu coś domnożyć coś podzielić i powinno wyjść. Chyba to byłaby najprostsza metoda.
Ad 4. Trzeba sprawdzić do czego dąży wyrażenie wewnątrz arcsin. Można to zrobić z de l'Hospitala albo co polecam przez wyciągnięcie x z licznika i mianownika. Granica wychodzi \(arcsin\frac{1}{2} = \frac {\pi}{6}\)
Życzę powodzenia na sesji.
Pozdrawiam,
Szymon.
w miarę dokładnie to opisałem, na podanym przykładzie. Postaram się jednak dość czytelnie to rozwiązać bez większego tłumaczenia. Jak już napisałem odsyłam pod powyższy link.
1. \(\lim_{x\to \infty} x^2e^{-2x} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{e^{2x}} =_H ^{[\frac{\infty}{\infty}]} \\ \lim_{x\to \infty } \frac{(x^2)'}{(e^{2x})'} = \lim_{x\to \infty} \frac{2x}{e^{2x}\cdot 2}=_H^{[\frac {\infty}{\infty}]} \lim_{x\to \infty} \frac{1}{e^{2x} \cdot 2} = 0\)
2.
\(\lim_{x\to 0 } x ctg2x =^{[0\cdot \infty]} \lim_{x\to 0} \frac{ctg2x}{\frac{1}{x}}=^{[\frac{\infty}{\infty}]}_H \lim_{x\to 0} \frac{(ctg2x)'}{(\frac{1}{x})'} = \lim_{x\to 0} \frac{(-\frac{1}{sin^22x})\cdot 2}{-\frac{1}{x^2}} = \\ = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{2}{sin^22x}}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2}{sin^22x}= \lim_{x\to 0} (\frac{2x}{sin2x})^2\cdot \frac {1}{2}= \frac{1}{2}\)
Przykłady 3 i 4 postaram się streścić, jestem głęboko przekonany, że sobie z tym poradzisz, w razie problemów pisz tutaj, postaram się odpowiedzieć jeśli tylko znajdę chwilę czasu.
Ad 3. Za to zadania zabrałbym się nie z reguły de l'Hospitala a ze znanych granic, a mianowicie z tej: \(\lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x}=1\) (zaznaczę tylko że jak jest coś do kwadratu to powinno wyglądać to tak:\(\lim_{x\to 0} \frac{sin^24x}{16x^2} = \lim_{x\to 0} (\frac{sin4x}{4x})^2=1^2=1\). Trzeba będzie tu coś domnożyć coś podzielić i powinno wyjść. Chyba to byłaby najprostsza metoda.
Ad 4. Trzeba sprawdzić do czego dąży wyrażenie wewnątrz arcsin. Można to zrobić z de l'Hospitala albo co polecam przez wyciągnięcie x z licznika i mianownika. Granica wychodzi \(arcsin\frac{1}{2} = \frac {\pi}{6}\)
Życzę powodzenia na sesji.
Pozdrawiam,
Szymon.