mam taka funkcje:
\(y=x+ \frac{4}{x-5}\)
mam obliczyc asymptoty. wyszło mi ze \(D \in R \setminus (5)\)
jak przekształcić ta funkcje, żeby wszystko bylo w ułamku?
asymptoty
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
\(f(x)=x+ \frac{4}{x-5}= \frac{x^2-5x+4}{x-5}= \frac{(x-1)(x-4)}{x-5}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ D_f=(- \infty ;5) \cup (5;+ \infty )\)
\(\begin{cases} \lim_{x\to- \infty }f(x)=\ \lim_{x\to- \infty } \ (x+ \frac{4}{x-5})=- \infty \\ \\ \lim_{x\to+ \infty } f(x)=\ \lim_{x\to + \infty } (x+ \frac{4}{x-5})=+ \infty \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \\)brak asymptot poziomych
\(\begin{cases} \lim_{x\to 5^-} \ f(x)= \lim_{x\to 5^-} \frac{(x-1)(x-4)}{x-5}=- \infty \\ \\ \lim_{x\to 5^+} f(x)= \lim_{x\to5^+ } \frac{(x-1)(x-4)}{x-5} =+ \infty \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \\)prosta o równaniu x=5 jest asymptotą pionową obustronną
\(\begin{cases} \lim_{x\to \pm \infty } \frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to \pm \infty }\ \frac{x^2-5x+4}{x(x-5)})= \lim_{x\to \pm \infty }\ \frac{x^2(1- \frac{5}{x}+ \frac{4}{x^2}) }{x^2(1- \frac{5}{x} )} = 1=a \\ \\ \\ \lim_{x\to \pm \infty } (f(x)-ax)=\ \lim_{x\to \pm \infty } \ ( x+ \frac{4}{x-5} -x)= \lim_{x\to \pm \infty }\ \frac{4}{x-5}=0=b \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \\)prosta o równaniu y=x jest asymptotą ukośną obustronną
\(\begin{cases} \lim_{x\to- \infty }f(x)=\ \lim_{x\to- \infty } \ (x+ \frac{4}{x-5})=- \infty \\ \\ \lim_{x\to+ \infty } f(x)=\ \lim_{x\to + \infty } (x+ \frac{4}{x-5})=+ \infty \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \\)brak asymptot poziomych
\(\begin{cases} \lim_{x\to 5^-} \ f(x)= \lim_{x\to 5^-} \frac{(x-1)(x-4)}{x-5}=- \infty \\ \\ \lim_{x\to 5^+} f(x)= \lim_{x\to5^+ } \frac{(x-1)(x-4)}{x-5} =+ \infty \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \\)prosta o równaniu x=5 jest asymptotą pionową obustronną
\(\begin{cases} \lim_{x\to \pm \infty } \frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to \pm \infty }\ \frac{x^2-5x+4}{x(x-5)})= \lim_{x\to \pm \infty }\ \frac{x^2(1- \frac{5}{x}+ \frac{4}{x^2}) }{x^2(1- \frac{5}{x} )} = 1=a \\ \\ \\ \lim_{x\to \pm \infty } (f(x)-ax)=\ \lim_{x\to \pm \infty } \ ( x+ \frac{4}{x-5} -x)= \lim_{x\to \pm \infty }\ \frac{4}{x-5}=0=b \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \\)prosta o równaniu y=x jest asymptotą ukośną obustronną