ekstremum

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
agata0987
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 88
Rejestracja: 29 gru 2009, 16:22

ekstremum

Post autor: agata0987 »

Moze mi ktos wytłumaczyc na tym przykładzie \(y=4x-x^2\) wyznaczanie ekstremum funkcji? poprosze po kolei co sie robi, najwiekszy problem mam z warunkiem dostatecznym. Pomocy
Z góry dziekuje :)
crocens
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 16
Rejestracja: 17 sty 2010, 21:15

Post autor: crocens »

Zaczynamy od dziedziny funkcji. W tym przypadru \(x \in R\)
następnie liczymy pochodną tej funkcji.

\(f'(x)=(4x-x^2)' = (4x)'-(x^2)' = 4-2x\)

Ustalamy kiedy pochodna jest dodatnia a kiedy ujemna i wyznaczamy jej miejsca zerowe.

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4-2x = 0
-2x=-4
x=2

f'(x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty , 2)
f'(x) < 0 \Leftrightarrow x \in (2, +\infty)
f'(x) = 0 \Leftrightarrow x=2\)


Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest zerowanie sie pochodnej w punkcie. Dodatkowo punkt ten musi należeć do dziedziny funkcji.
Warunkiem wystarczającym jest zmiana znaku pochodnej "wokół" tego punktu

Z tego wynika, iż funkcja ta posiada ekstremum w punkcie x=2 i jest to maksimum.
ODPOWIEDZ