oblicz granice funkcji w punkcie x0
a) \(f(x)= \frac{(x-1) \sqrt{2-x} }{x^2-1} ; x0=1\)
b) \(f(x)= \frac{ \sqrt{1+2x}-3 }{ \sqrt{x}-2 } ; x0=3\)
c) \(f(x)= \frac{x+1}{x-1}; x0=1\)
d) \(f(x)= \sqrt{x+3}- \sqrt{x+1}; x0=+nieskonczonosc\)
e) \(f(x)= \frac{1}{x^2-4} ; x0=2\)
f) \(f(x)= \frac{1}{(3-x)^2}; x0=3\)
oblicz granice funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a)\(\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)\sqrt{2-x}}{x^2-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)\sqrt{2-x}}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{2-x}}{x+1}=\frac{1}{2}\)
b)tu chyba jest coś nie tak może granica ma być \(x\to2\)?
\(\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{7}-3}{\sqrt{3}-2}\)
c)tutaj liczymy granice jednostronne (obustronna nie istnieje)
\(\lim_{x\to 1^-}\frac{x+1}{x-1}=\left[\frac{2}{0^-}\right]=-\infty
\lim_{x\to 1^+}\frac{x+1}{x-1}=\left[\frac{2}{0^+}\right]=\infty\)
d)\(\lim_{x\to\infty}\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}}=\left[\frac{2}{\infty}\right]=0\)
e)znowu nie istnieje granica obustronna, ale istnieją jednostronne
\(\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x^2-4}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty
\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x^2-4}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=\infty\)
f)liczymy jednostronne granice (obustronna będzie niewłaściwa)
\(\lim_{x\to 3^-}\frac{1}{(3-x)^2}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=\infty
\lim_{x\to 3^+}\frac{1}{(3-x)^2}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=\infty\)
b)tu chyba jest coś nie tak może granica ma być \(x\to2\)?
\(\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{7}-3}{\sqrt{3}-2}\)
c)tutaj liczymy granice jednostronne (obustronna nie istnieje)
\(\lim_{x\to 1^-}\frac{x+1}{x-1}=\left[\frac{2}{0^-}\right]=-\infty
\lim_{x\to 1^+}\frac{x+1}{x-1}=\left[\frac{2}{0^+}\right]=\infty\)
d)\(\lim_{x\to\infty}\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}}=\left[\frac{2}{\infty}\right]=0\)
e)znowu nie istnieje granica obustronna, ale istnieją jednostronne
\(\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x^2-4}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty
\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x^2-4}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=\infty\)
f)liczymy jednostronne granice (obustronna będzie niewłaściwa)
\(\lim_{x\to 3^-}\frac{1}{(3-x)^2}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=\infty
\lim_{x\to 3^+}\frac{1}{(3-x)^2}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=\infty\)