Oblicz punkt przegięcia
f"(x)=(-\(\frac{1}{x}\)*\(x^2\)-(-lnx-2)*2x)/\(x^4\) sory ze w takiej formie ale inaczej nie umiałam zapisac
Funkcja pochodna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Jeżeli dobrze odczytałem to druga pochodna jest dana wzorem
\(\frac{-\frac{1}{x}x^2-(-\ln x-2)2x}{x^4}=\frac{-x+2x\ln x+4x}{x^4}=\frac{2\ln x+3}{x^3}\)
Szukamy pierwiastków (punkt jest punktem przegięcia jeżeli druga pochodna się zeruje w tym punkcie i w otoczeniu tego punktu następuje zmiana znaku drugiej pochodnej)
\(2\ln x+3=0
\ln x=-\frac{3}{2}
x=e^{-\frac{3}{2}}\)
Pamiętamy, że logarytm jest określony tylko dla liczb większych od 0. Stąd mianownik jest większy od zera, czyli licznik decyduje o znaku. Licznik jest wykresem funkcji logarytm czyli
\(f''(x)<0\quad\text{dla }x\in(0,e^{-\frac{3}{2}})
f''(x)>0\quad\text{dla }x\in(e^{-\frac{3}{2}},\infty)\)
Zatem mamy zmianę znaku więc \(x=e^{-\frac{3}{2}}\) jest punktem przegięcia.
\(\frac{-\frac{1}{x}x^2-(-\ln x-2)2x}{x^4}=\frac{-x+2x\ln x+4x}{x^4}=\frac{2\ln x+3}{x^3}\)
Szukamy pierwiastków (punkt jest punktem przegięcia jeżeli druga pochodna się zeruje w tym punkcie i w otoczeniu tego punktu następuje zmiana znaku drugiej pochodnej)
\(2\ln x+3=0
\ln x=-\frac{3}{2}
x=e^{-\frac{3}{2}}\)
Pamiętamy, że logarytm jest określony tylko dla liczb większych od 0. Stąd mianownik jest większy od zera, czyli licznik decyduje o znaku. Licznik jest wykresem funkcji logarytm czyli
\(f''(x)<0\quad\text{dla }x\in(0,e^{-\frac{3}{2}})
f''(x)>0\quad\text{dla }x\in(e^{-\frac{3}{2}},\infty)\)
Zatem mamy zmianę znaku więc \(x=e^{-\frac{3}{2}}\) jest punktem przegięcia.