Wyznacz ekstremum
f(x)=\(\frac{lnx+3}{x}\)
Funkcja pochodna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Liczymy pochodną
\(f'(x)=\frac{(\ln x+3)'x-(x)'(\ln x+3)}{x^2}=\frac{-\ln x-2}{x^2}\)
Wyznaczamy pierwiastki (punkt jest ekstremum funkcji jeżeli pochodna w tym punkcie jest równa zero i w otoczeniu tego punktu następuje zmiana znaku pochodnej)
\(-\ln x-2=0
\ln x=-2
x=e^{-2}\)
Mianownik jest zawsze dodatni czyli znak licznika decyduje o znaku pochodnej. Licznik jest odbiciem względem osi OX funkcji logarytmicznej, więc
\(f'(x)>0\quad\text{dla }x\in(0,e^{-2})
f'(x)<0\quad\text{dla }x\in(e^{-2},\infty)\)
Zatem mamy zmianę znaku, czyli \(x=e^{-2}\) jest ekstremum (maksimum).
\(f'(x)=\frac{(\ln x+3)'x-(x)'(\ln x+3)}{x^2}=\frac{-\ln x-2}{x^2}\)
Wyznaczamy pierwiastki (punkt jest ekstremum funkcji jeżeli pochodna w tym punkcie jest równa zero i w otoczeniu tego punktu następuje zmiana znaku pochodnej)
\(-\ln x-2=0
\ln x=-2
x=e^{-2}\)
Mianownik jest zawsze dodatni czyli znak licznika decyduje o znaku pochodnej. Licznik jest odbiciem względem osi OX funkcji logarytmicznej, więc
\(f'(x)>0\quad\text{dla }x\in(0,e^{-2})
f'(x)<0\quad\text{dla }x\in(e^{-2},\infty)\)
Zatem mamy zmianę znaku, czyli \(x=e^{-2}\) jest ekstremum (maksimum).