Zbadać przebieg zmiennności funkcji

[revolver0]

Tak jak wyżej

f(x)=40+18x-9x^2-3x^3

Z tym, że prosiłbym o stosowne komentarze które ułatwią mi zrozumienie tego.

[greg]

Nie wiem co rozumiesz przez zbadanie przebiegu zmienności funkcji więc będę opierać się na schemacie jaki znam.
1. Dziedziną jest zbiór \(\mathbb{R}\)
2. asymptoty. pionowych nie ma sprawdzamy czy są poziome
\(\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty\)
więc asymptot poziomych też nie ma.
3. Wyznaczamy punkty przecięcia się z osią OY
\(f(0)=40\)
4. badamy parzystość, nieparzystość funkcji
\(f(-x)=40-18x-9x^2+3x^3
-f(-x)=-40+18x+9x^2-3x^3\)
widać że funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
5. Funkcja jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie i jest dana wzorem
\(f'(x)=18-18x-9x^2\)
6. wyznaczamy pierwiastki pierwszej pochodnej
\(0=18-18x-9x^2
0=2-2x-x^2
\Delta=4+8=12
x_1=\frac{2-\sqrt{12}}{-2}=\sqrt{3}-1,\quad x_2=\frac{2+\sqrt{12}}{-2}=-\sqrt{3}-1\)
7. Badamy znak pochodnej. Jak narysujesz wykres pochodnej (jest to parabola zwrócona gałęziami w dół), to zauważysz, że
\(f'(x)<0\quad\text{dla }x\in(-\infty,x_2)\cup(x_1,\infty)
f'(x)>0\quad\text{dla }x\in(x_2,x_1)\)
Czyli funkcja f jest malejąca na pierwszym z tych zbiorów, a rosnąca na drugim.
8. Z poprzedniego punktu wnioskujemy, że w punkcie \(x_2\) funkcja osiąga minimum, a w punkcie \(x_1\) osiąga maksimum.
9. Pierwsza pochodna jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie i jest dana wzorem
\(f''(x)=-18-18x\)
10. Wyznaczamy miejsca zerowe drugiej pochodnej
\(0=-18-18x_3
x_3+1=0
x_3=-1\)
11. Badamy znak drugiej pochodnej
\(f''(x)>0\quad\text{dla }x\in(-\infty,x_3)
f''(x)<0\quad\text{dla }x\in(x_3,\infty)\)
Korzystamy z charakteryzacji:
Funkcja jest wypukła \(\Leftrightarrow f''(x)\geq 0\).
Funkcja jest wklęsła \(\Leftrightarrow f''(x)\leq 0\).
Czyli na pierwszym zbiorze funkcja jest wypukła, a na drugim wklęsła.
12. Punkty przegięcia. Z poprzedniego punktu wynika, że \(x_3\) jest punktem przegięcia (następuje zmiana znaku drugiej pochodnej w otoczeniu punktu \(x_3\))
Teraz już łatwo naszkicować wkres. Dla porównania spójrz na zadanie http://www.zadania.info/d808/7365061 jest podobne więc może ułatwi ci zrozumienie.

[revolver0]

Co do 6 pod punktu mam pytanie cale wyrażenie podziedzieliłes przez 9 potem wyliczyłeś delte, ale miejsca erowe mi się nie zgadzaja a mianowicie a=2 b=-2 c=-1a wzór na x1 i x2 jest przecież taki x1=(-b-pierwzdely)/2a x2=(-b+pierwzdely)/2a

[greg]

Może zapisze wzór z tego podpunktu w innej postaci
\(0=-x^2-2x+2\)
Współczynnik a odpowiada liczbie przy x^2, b przy x, c jest wyrazem wolnym.
W naszym przypadku jest to odpowiednio a=-1,b=-2,c=2

[revolver0]

jeszcze jedno a mianowicie skąd \(\sqrt{3}-1\) bo nie wiem jak to przekształciłeś \(\sqrt{12}\) daje po wyłączeniu \(2 \sqrt{3}\)

[greg]

Wzór na pierwiastki to
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_1=\frac{2-\sqrt{12}}{-2}=\frac{2-2\sqrt{3}}{-2}=\sqrt{3}-1
x_2=\frac{2+\sqrt{12}}{-2}=\frac{2+2\sqrt{3}}{-2}=-\sqrt{3}-1\)