Wykazać za pomocą indukcji matematycznej:
\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}\)
indukcja matematyczna, krok po kroku,by wszyscy zrozumieli
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Wstawiasz za n=1 i sprawdzasz, czy spełniona jest odpowiednia równość:
dla n=1
\(\sum_{k=1}^{1} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{(2\cdot1-1)(2\cdot1+1)}=\frac{1}{1\cdot3}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2\cdot1+1}\)
Teraz, zakładamy, że równość jest prawdziwa dla \(k\in\ N\) i z tej równości wyprowadzamy równość dla k+1. Jeżeli z prawdziwości równości dla dowolnej liczby k wynika jej prawdziwość dla liczby k+1, to ta równość jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych.
Założenie:
\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}\)
Teza:
\(\sum_{k=1}^{n+1}=\frac{n+1} {2(n+1)+1}=\frac{n+1}{2n+3}\)
Dowód:
\(P=\frac{n+1}{2n+3}\)
\(L=\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\\=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}=\\=\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\\=\frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)}=\\=\frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}=\\=\frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)}=\\=\frac{n+1}{(2n+3)}\)
L=P
I tego dowiedliśmy. Zatem powyższa równość jest prawdziwa dla wszystkich naturalnych liczb n>0.
dla n=1
\(\sum_{k=1}^{1} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{(2\cdot1-1)(2\cdot1+1)}=\frac{1}{1\cdot3}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2\cdot1+1}\)
Teraz, zakładamy, że równość jest prawdziwa dla \(k\in\ N\) i z tej równości wyprowadzamy równość dla k+1. Jeżeli z prawdziwości równości dla dowolnej liczby k wynika jej prawdziwość dla liczby k+1, to ta równość jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych.
Założenie:
\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}\)
Teza:
\(\sum_{k=1}^{n+1}=\frac{n+1} {2(n+1)+1}=\frac{n+1}{2n+3}\)
Dowód:
\(P=\frac{n+1}{2n+3}\)
\(L=\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\\=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}=\\=\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\\=\frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)}=\\=\frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}=\\=\frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)}=\\=\frac{n+1}{(2n+3)}\)
L=P
I tego dowiedliśmy. Zatem powyższa równość jest prawdziwa dla wszystkich naturalnych liczb n>0.