mam zadanie z wielokątem z rachunku różniczkowego, a dokładnie z I pochodnej.
oto wielokąt:
Treść zadania jest następująca:
Z tego wielokąta wyciąć prostokąt o największym polu.
Dziękuję za pomoc.
Rachunek Różniczkowy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Rachunek Różniczkowy
Witam,
mam zadanie z wielokątem z rachunku różniczkowego, a dokładnie z I pochodnej.
oto wielokąt:
Treść zadania jest następująca:
Z tego wielokąta wyciąć prostokąt o największym polu.
Dziękuję za pomoc.
mam zadanie z wielokątem z rachunku różniczkowego, a dokładnie z I pochodnej.
oto wielokąt:
Treść zadania jest następująca:
Z tego wielokąta wyciąć prostokąt o największym polu.
Dziękuję za pomoc.
Umieszczamy tą figurę w układzie współrzędnych (ja zakładam, że jej lewy dolny róg jest w początku układu współrzędnych).
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez skośną ścianę (łatwo to zrobić bo musi przechodzić przez punkty (3,10) i (11,6))
\(g(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{23}{2}\)
Teraz trzeba zrobić prostą obserwację, że dowolny prostokąt wpisany w naszą figurę którego wierzchołki nie leżą na obwodzie wyjściowej figury nie ma maksymalnego pola (bo zawsze istnieje większy prostokąt zawierający go którego wierzchołki leżą na obwodzie)
Definiujemy funkcję
\(f(x)=x^2+(-\frac{1}{2}x+\frac{23}{2})^2=\frac{5}{4}x^2-\frac{23}{2}x+\frac{23^2}{4}\)
dla \(x\in[3,11]\) jej wartości odpowiadają polu prostokąta wpisanego w figurę o wierzchołkach w punktach (0,0),(x,0),(0,g(x)),(x,g(x)).
Szukamy maksimum funkcji f w zbiorze [3,11].
\(f'(x)=\frac{5}{2}x-\frac{23}{2}\)
Pochodna ma jeden pierwiastek, ale est to minimum, więc maksima są realizowe na brzegu.
Liczymy pole prostokąta o wierzchołkach w (0,0),(0,10),(3,10),(3,0) i otrzymujmy 109 (czyli f(3)).
To samo dla prostokąta o wierzchołkach (0,0),(0,6),(11,0),(11,6) i otrzymujemy157 (czyli f(11)) i jest to maksimum.
Można też to policzyć bez użycia pochodnej. Wszystko do definicji funkcji f robimy tak samo. Funkcja f jest funkcją kwadratową o wyznaczniku ujemnym (nie ma pierwiastków). Łatwo wyznaczyć jej wierzchołek \((\frac{23}{5},f(\frac{23}{5})\) (teraz odrazu widać, że jest to minimum). Ponieważ odległość 7 od \(\frac{23}{5}\) jest większa niż odległość 3 od \(\frac{23}{5}\), więc f(7)>f(3).
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez skośną ścianę (łatwo to zrobić bo musi przechodzić przez punkty (3,10) i (11,6))
\(g(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{23}{2}\)
Teraz trzeba zrobić prostą obserwację, że dowolny prostokąt wpisany w naszą figurę którego wierzchołki nie leżą na obwodzie wyjściowej figury nie ma maksymalnego pola (bo zawsze istnieje większy prostokąt zawierający go którego wierzchołki leżą na obwodzie)
Definiujemy funkcję
\(f(x)=x^2+(-\frac{1}{2}x+\frac{23}{2})^2=\frac{5}{4}x^2-\frac{23}{2}x+\frac{23^2}{4}\)
dla \(x\in[3,11]\) jej wartości odpowiadają polu prostokąta wpisanego w figurę o wierzchołkach w punktach (0,0),(x,0),(0,g(x)),(x,g(x)).
Szukamy maksimum funkcji f w zbiorze [3,11].
\(f'(x)=\frac{5}{2}x-\frac{23}{2}\)
Pochodna ma jeden pierwiastek, ale est to minimum, więc maksima są realizowe na brzegu.
Liczymy pole prostokąta o wierzchołkach w (0,0),(0,10),(3,10),(3,0) i otrzymujmy 109 (czyli f(3)).
To samo dla prostokąta o wierzchołkach (0,0),(0,6),(11,0),(11,6) i otrzymujemy157 (czyli f(11)) i jest to maksimum.
Można też to policzyć bez użycia pochodnej. Wszystko do definicji funkcji f robimy tak samo. Funkcja f jest funkcją kwadratową o wyznaczniku ujemnym (nie ma pierwiastków). Łatwo wyznaczyć jej wierzchołek \((\frac{23}{5},f(\frac{23}{5})\) (teraz odrazu widać, że jest to minimum). Ponieważ odległość 7 od \(\frac{23}{5}\) jest większa niż odległość 3 od \(\frac{23}{5}\), więc f(7)>f(3).