Parabola i hiperbola. Nadzieja...

[dyktyl]

Witam, mam dwa zadania do rozwiązania i nie bardzo wiem jak sobie z nimi poradzić.

1. Pod jakim kątem widać parabolę \(y^{2} =4x\) z punktu p=(4,5)

Znalazłem styczne przechodzące przez P i nie wiem co dalej, tangensy nie wychodzą dla kątów "z tabelki"

2. Na hiperboli \(\frac{x ^{2} }{49} - \frac{y ^{2} }{16} =1\) znaleźć punkt, który leży trzy razy bliżej od jednej asymptoty niż od drugiej.

Mam nadzieję, że na tym forum ktoś będzie w stanie to rozwiązać

Pozdrawiam serdecznie i czekam na choćby sugestie i pomysły.

[anka]

2.
Pomysł jest taki (nie wiem czy najlepszy)
\(\frac{x ^{2} }{49} - \frac{y ^{2} }{16} =1\)
asymptoty:
\(\frac{x}{7}+\frac{y}{4}=0 \Rightarrow 4x+7y=0\)

\(\frac{x}{7}-\frac{y}{4}=0 \Rightarrow 4x-7y=0\)

\(P=(x;y)=(x;\frac{4\sqrt{x^2-49}}{7})\) - współrzędne szukanego punktu (należy do hiperboli)

Odległość punktu \(P\) od pierwszej asymptoty
\(d_1=\frac{|4x+7\cdot \frac{4\sqrt{x^2-49}}{7}|}{\sqrt{7^2+4^2}}=\frac{|4x+4\sqrt{x^2-49|}}{\sqrt{65}}\)

Odległość punktu \(P\) od drugiej asymptoty
\(d_2=\frac{|4x-7\cdot \frac{4\sqrt{x^2-49}}{7}|}{\sqrt{7^2+4^2}}=\frac{|4x-4\sqrt{x^2-49|}}{\sqrt{65}}\)

\(d_1=3d_2\)

\(\frac{|4x+4\sqrt{x^2-49|}}{\sqrt{65}}=3\frac{|4x-4\sqrt{x^2-49|}}{\sqrt{65}}\)

\(|x+\sqrt{x^2-49}|=3|x-\sqrt{x^2-49|\)


w 1 wyszło mi:
równania stycznych
\(y=x+1\) i punkt styczności \(A=(1,2)\)
\(y=\frac{1}{4}x+4\) i punkt styczności \(B=(16,8)\)
Wektory
\(PA=[-3;-3]\) , \(|PA|=3\sqrt2\)

\(PB=[12;3]\), \(|PB|=3\sqrt{17}\)

\(cos\alpha=\frac{-3\cdot12-3\cdot3}{3\sqrt2\cdot 3\sqrt {17}}=\frac{-5\sqrt {34}}{34}\)