Ekstremum warunkowe

[cherryvis3]

Wyznacz ekstrema warunkowe funkcji \(f(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) przy warunku \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1\)

[patryk00714]

\(f(x,y)= \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \;\;\;\;\;\ g(x,y)= \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-1=0\;\;\;\;\ x \neq 0 \;\;\ y \neq 0\)

tworzymy funkcję: \(F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{\lambda}{x^2}+\frac{\lambda}{y^2}-\lambda\)

\(\frac{ \partial F}{ \partial x}=- \frac{1}{x^2}- \frac{2\lambda}{x^3} \;\;\;\ \frac{ \partial F}{ \partial y}=- \frac{1}{y^2}- \frac{2\lambda}{y^3} \;\;\;\ \frac{ \partial F}{\partial \lambda}= \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}-1\)

mamy układ:

\(\begin{cases} - \frac{1}{x^2}- \frac{2\lambda}{x^3}=0\\- \frac{1}{y^2}- \frac{2\lambda}{y^3}=0\\ \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}=1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2\lambda =-x \\2\lambda=-y \\ \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}=1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2\lambda = -x\\2\lambda=-y\\\frac{1}{2\lambda^2}=1\end{cases}\)

mamy więc, że:
\(\lambda_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}, \;\;\ x_1=-\sqrt{2}, \;\;\ y_1=-\sqrt{2}\)
\(\lambda_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \;\;\ x_2=\sqrt{2}, \;\;\ y_2=\sqrt{2\)

Więc istnieją dwa punkty stacjonarne: \(P_1(-\sqrt{2},-\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \;\;\ P_2(\sqrt{2},\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})\)

Na koniec tworzymy hesjan takiej postaci: \(H= \begin{vmatrix} 0& \frac{ \partial g}{ \partial x}&\frac{ \partial g}{ \partial y}\\\frac{ \partial g}{ \partial x}&\frac{ \partial^2 F}{ \partial x \partial x}&\frac{ \partial^2 F}{ \partial y \partial x}\\\frac{ \partial g}{ \partial y}&\frac{ \partial^2 F}{ \partial x \partial y}&\frac{ \partial^2 F}{ \partial y \partial y}\end{vmatrix}\)

Liczymy pochodne cząstkowe i wstawiamy współrzędne otrzymanych punktów stacjonarnych. Jeżeli \(H(P_i)<0\) to mamy minimum, jeżeli \(H(P_i)>0\) to mamy maksimum, gdzie \(i=1,2\)