Proszę Was o pomoc w zadaniach (co prawda ze szkoły średniej a sprawiaja mi problemy, bo jestem cienka z maty;( ). Prosiłabym o rozwiązanie z jakims opisaniem. Nie musi byc ono szczegolowe ale chociaz by bylo napisane"dlaczego..." wyszedl taki wynik, a nie inny.
Prosze o szybka pomoc.
Z gory dziekuje
zad1. Wyznacz stosunek objętości sześcianu o krawędzi 4 cm do objętości kuli opisanej na tym sześcianie.
zad.2. Wyznacz ciąg arytmetyczny (a,r) mając dane:
a2+a5-a3=10 i a2+a9=17
zad.3. wyznacz zbiory: A∪B, A∩B, A\B I B\A, jezeli:
a) A={x : x ∊ C i x jest dzielnikiem liczby 6}, B={x : x ∊ N i x<5}
b) A=< −3, 1) , B=< −2, 4>
c) A= {x : x ∊ R i |x + 2 | > 5 }, B={x : x ∊ R i 2x(x−4)>x(x − 4) >x(x−1) + (x+5)(x−5)}
1. Wyznaczamy przekątną b podstawy sześcianu \(b=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\)
Wyznaczamy przekątną c sześcianu (ta przekątna jest również średnicą kuli opisanej na tym sześcianie) \(c=\sqrt{b^2+4^2}=4\sqrt{3}\)
Obliczamy objętości \(V_{kuli}=\frac{4}{3}\pi(2\sqrt{3})^3=32\sqrt{3}\pi,\qquad V_{s}=4^3=64\)
2. Będziemy podstawiać \(a_2=a_1+r, a_5=a_1+4r, a_3=a_2+r, a_9=a_1+8r\). Otrzymujemy układ \(\left\{\begin{array}{l}
a_2+a_1+4r-a_2-r=10\\
a_1+r+a_1+8r=17
\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l}
a_1+3r=10\\
2a_1+9r=17
\end{array}\right.\)
Z pierwszego równania wyznaczamy \(a_1\). Otrzymujemy \(a_1=10-3r\) i podstawiamy do drugiego równania \(20-6r+9r=17
20+3r=17
r=-1
a_1=13\)
b)\(A=[-3,1)\qquad B=[-2,4]\). Kożystać z tego, że \(-3<-2<1<4\) \(A\cup B=[-3,4],\qquad A\cap B=[-2,1),\qquad A\setminus B=[-3,-2),\qquad B\setminus A=[1,4]\)
c)\(A=\{x\in\mathbb{R}:|x+2|>5\}\qquad B=\{x\in\mathbb{R}:2x(x-4)>x(x-4)>x(x-1)+(x+5)(x-5)\}\) \(x+2>5\) czyli \(x>3\) dla \(x>-2\) \(-x-2>5\) czyli \(x<-7\) dla \(x<-2\)
Stąd \(A=(-\infty,-7)\cup(3,\infty)\) \(2x(x-4)>x(x-4)\) dla \(x=4\) nierówność nie jest spełniona, więc możemy obustronnie podzieli przez \(x-4\)
Rozwiązujemy i otrzymujemy \(x\in(-\infty,0)\cup(4,\infty)\) \(x(x-4)>x(x-1)+(x-5)(x+5)
x^2-4x>x^2-x+x^2-25
0>x^2+3x-25
\triangle=9+100>0\)
Pamiętając, że \(\sqrt{109}<11\) otrzymujemy \(x_0=\frac{-3-\sqrt{109}}{2}<0\qquad x_1=\frac{-3+\sqrt{109}}{2}<\frac{-3+11}{2}=4\)
Stąd \(B=[x_0,0)\cup[x_1,4)\)
Zauważmy, że \(x_0=\frac{-3-\sqrt{109}}{2}>\frac{-3-11}{2}=-7\) i \(x_1=\frac{-3+\sqrt{109}}{2}>\frac{-3+10}{2}=\frac{7}{3}>3\) \(A\cup B=(-\infty,-7)\cup[x_0,0)\cup(3,\infty),\qquad A\cap B=[x_1,4),\qquad A\setminus B=(-\infty,-7)\cup(3,x_1)\cup[4,\infty),\qquad B\setminus A=[x_0,0)\)
