Równanie arctg

[Rzulu]

Może ktoś mi rozpisać jak to rozwiązać:
\(tg(2*arctg(3x)= \sqrt{3} )\)

[jola]

\(tg(2arctg3x)=\sqrt{3}\ \ \Rightarrow\ \ 2arctg3x=arctg\sqrt{3}\ \ \Rightarrow\ \ 2arctg3x=\frac{\pi}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \ arctg3x=\frac{\pi}{6}\ \ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow\ \ \ 3x=tg \frac{\pi}{6}\ \ \Rightarrow\ \ \ 3x=\frac{\sqrt{3}}{3}\ \ \Rightarrow\ \ x=\frac{\sqrt{3}}{9}\)

[Jake]

Nie trzeba w takich zadaniach podawać war. koniecznych , które ma spełniać x ?

[jola]

Trzeba określać dziedzinę równania. W powyższym zadaniu\(\ \ x\in (\ -\frac{1}{3}\ ;\ \frac{1}{3}\ )\)

[Jake]

Hmm.. jeż. chodzi o arc tg to 3x nal. do rzecz. czyli x nal. do rzecz., czy nie tak/?

2. warunek: mamy tg kąta \(arctg3x\), który musi byc różny od \(1/2 \pi + k \pi\) , prawda? Własnie nei wiem jak to rozwiązać o ile jest taka potrzeba.

[jola]

funkcja y=tg x jest odwracalna w przedziale\(\ \ (-\frac{\pi }{2}\ ;\ \frac{\pi}{2}\ )\)

\(-\frac{\pi }{2}<2 arctg 3x<\frac{\pi}{2}\ \ \Rightarrow\ \ \ -\frac{\pi}{4}<arctg 3x<\frac{\pi}{4}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ -1<3x<1\ \ \ \Rightarrow\ \ -\frac{1}{3}<x<\frac{1}{3}\)

[Jake]

"funkcja y=tg x jest odwracalna w przedziale \((-\frac{\pi }{2}\ ;\ \frac{\pi}{2}\ )\)" - a w przedziale tym jej przeciwdziedziną (Zbiorem wartości) jest zbiór liczb rzecz. Funkcja doń odwrotna będzie więc opisana na zbiorze liczb rzecz., stąd mamy

\(3x \in R \Rightarrow x \in R\)

2. war. to ten, o którym już wspomniałem, czyli: "2. warunek: mamy tg kąta arctg3x, który musi byc różny od 1/2 \pi + k \pi , prawda? Własnie nei wiem jak to rozwiązać o ile jest taka potrzeba." , ktory już wiem jak rozwiązać:

\(2arctg3x \neq \frac{\pi }{2} +k\pi
arctg3x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}
tg(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2})\neq3x
x\neq \frac{1}{3}tg(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2})=\frac{ \pm 1}{3}\),

czyli \(D=R\)\{\({-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\)}.

Nie twierdziłbym tak, gdybym nie sprawdził sobie i wstawił za x takich liczb jak 2/3, 1, 1 i 1/3 i z minusami również.

Nie zdziwie sie za bardzo, gdy ktoś powie, że moje myślenie jest błedne, gdyż te arkusy są dla mnie.. conajmniej "pogięte".