zadania z analizy

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
tumdo
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 29 sie 2009, 20:46

zadania z analizy

Post autor: tumdo »

dostałem zadania na egzaminie i popełniłem gdzieś błędy nie wiem w którym miejscu
1.Wyznacz rozwiązanie zagadnienia początkowego
\(y' + 2ty=t, y(0)=1/2\).
2.Na płaszczyźnie znaleźć punkty, w których gradient funkcji
\(g(x,y)=ln(x+ \frac{1}{2})\) jest równy wektorowi \(v=(1,- \frac{16}{9})\).
3.Oblicz pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji\(f(x)= x^{3},0 \le x \le 1\), wokół osi Ox.
4.Oblicz dywergencje i rotacje pola wektorowego
\(F(x,y,z)=(lnx,exp(xyz),sin ^{2}(yz)\) -jest jakiś do tego czytelny zbiór zadań.
greg
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 52
Rejestracja: 11 gru 2009, 16:35
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: greg »

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne
\(y'+2ty=0
\frac{dy}{dt}=-2ty
\frac{dy}{y}=-2tdt
\int\frac{dy}{y}=\int -2tdt
\ln|y|=-t^2+C\)

Zatem rozwiązaniem zagadnienia jednorodnego jest
\(y=e^{-t^2+C}=Ce^{-t^2}\)
Uzmienniamy stałą tzn. podstawiamy \(C=u(t)\) i otrzymujemy
\(y=ue^{-t^2}\)
Różniczkujemy równanie
\(y'=u'e^{-t^2}-2tue^{-t^2}\)
Podstawiamy dane tzn. \(y'+2ty=t\), \(y=ue^{-t^2}\) i otrzymujemy
\(t-2tue^{-t^2}=\frac{du}{dt}e^{-t^2}-2tue^{-t^2}\)
Stąd \(t=u'e^{-t^2}\), czyli \(u'=te^{t^2}\). Całkujemy obie strony równania
\(u=\int te^{t^2}dt=\frac{1}{2}\int 2te^{t^2}dt\)
Podstawiamy \(x=t^2\) wówczas \(dx=2tdt\)
\(u=\frac{1}{2}\int e^xdx=\frac{1}{2}e^x+C=\frac{1}{2}e^{t^2}+C\). Czyli rozwiązaniem ogólny równanie niejednorodnego jest \(y=(\frac{1}{2}e^{t^2}+C)e^{-t^2}=\frac{1}{2}+e^{-t^2}C\)
Z zagadnienia początkowego wyznaczamy wartość stałej C.
\(\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+Ce^0\). Stąd \(C=0\)i rozwiązaniem zagadnienia początkowego jest funkcja \(y=\frac{1}{2}\)

3. \(V=\pi\int_0^1[f(x)]^2dx=\pi\int_0^1x^6dx=\pi\left[\frac{x^7}{7}\right]_{x=0}^{x=1}=\frac{\pi}{7}\)

4. Oznaczmy \(F(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))=(\ln(x),e^{xyz},\sin^2(yz))\)
Obliczamy pochodne cząstkowe
\(\frac{dF_x}{\partial x}(x,y,z)=\frac{1}{x},\qquad \frac{dF_y}{\partial y}(x,y,z)=xze^{xyz},\qquad \frac{dF_z}{\partial z}(x,y,z)=2y\sin(yz)\cos(yz)\)
\(\frac{dF_x}{\partial y}(x,y,z)=0,\qquad \frac{dF_y}{\partial z}(x,y,z)=xye^{xyz},\qquad \frac{dF_z}{\partial x}(x,y,z)=0\)
\(\frac{dF_x}{\partial z}(x,y,z)=0,\qquad \frac{dF_y}{\partial x}(x,y,z)=yze^{xyz},\qquad \frac{dF_z}{\partial y}(x,y,z)=2z\sin(yz)\cos(yz)\)
Dywergencje obliczamy ze wzoru \(div F=\frac{dF_x}{\partial x}(x,y,z)+\frac{dF_y}{\partial y}(x,y,z)+\frac{dF_z}{\partial z}(x,y,z)=\frac{1}{x}+xe^{xyz}+2y\sin(yz)\cos(yz)\)
Rotacje obliczamy ze wzoru
\(rot F=\left(\frac{dF_x}{\partial y}-\frac{dF_y}{\partial z},\frac{dF_x}{\partial z}-\frac{dF_z}{\partial x},\frac{dF_y}{\partial x}-\frac{dF_x}{\partial y}\right)=(-xye^{xyz},0,yze^{xyz})\)
ODPOWIEDZ