Witam. Mam problem z rozwiązaniem dwóch zadań. Wiem, że pewnie nie są trudne, ale niestety nie umiem sobie z nimi poradzić:/ Będę wdzięczny jeśli ktoś mi pomoże.
1. Wyznacz granicę:
a. lim┬(x→ ∞) x^36x
b. lim┬(x→ ∞) (xsin(3x))/e^x
c. lim┬(n→∞) n^44/ln(44n)
2. Niech f(x)=26/x+4x. Wyznacz najmniejszą i największą wartość tej funkcji w przedziale [1;50] i podaj w jakich punktach tego przedziału są one osiągalne.
Z góry dziękuję:)
granice- ciągi i funkcje
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1. a) Ponieważ \(x\to\infty\) oraz dla \(x>1\), \(x<x^{36x}\), więc \(\lim_{x\to\infty}x^{36x}>\lim_{x\to\infty}x=\infty\)
b) Zauważ, że \(\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0\) oraz funkcja \(\sin(3x)\) jest ograniczona, więc
\(\lim_{x\to\infty}\frac{x\sin(3x)}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}\sin(3x)=0\)
c) Skorzystamy z faktu, że \(\ln(x)\leq x+1\) czyli \(\ln(44n)\leq 44n +1\) i \(\frac{1}{\ln(44n)}\geq \frac{1}{44n +1}\). Stąd
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{44}}{\ln(44n)}\geq\lim_{n\to\infty}\frac{n^{44}}{44n+1}=\infty\)
2. Liczymy pochodną f i sprawdzamy ekstrema
\(f'(x)=-\frac{26}{x^2}+4\)
\(0=f'(x)=-\frac{26}{x^2}+4
x^2=\frac{15}{2}\)
Stąd \(x=\pm\sqrt{\frac{15}{2}}\). Sprawdzamy znak funkcji f' na przedziale [1,50].
\(f'(1)=-26+4=-22\) z ciągłości f' i ponieważ f' nie ma pierwiastków w przedziale \((1,\sqrt{\frac{15}{2}})\), więc \(f'(x)<0\) dla \(1\leq x<\sqrt{\frac{15}{2}}\).
Podobnie \(f'(50)=-\frac{26}{50^2}+4>0\), więc \(f'(x)>0\) dla \(x\in(\sqrt{\frac{15}{2}},50]\)
Stąd f w punkcie \(x_0=\sqrt{\frac{15}{2}}\) ma minimum. Ponieważ f jest monotoniczna na lewo i prawo od \(x_0\), więc jedynymi punktami w których f osiąga wartość maksymalną są końce przedziału.
\(f(1)=26+4=30,\qquad f(50)=\frac{26}{50}+200\)
Czyli f osiąga maksimum w punkcie 50.
b) Zauważ, że \(\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0\) oraz funkcja \(\sin(3x)\) jest ograniczona, więc
\(\lim_{x\to\infty}\frac{x\sin(3x)}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}\sin(3x)=0\)
c) Skorzystamy z faktu, że \(\ln(x)\leq x+1\) czyli \(\ln(44n)\leq 44n +1\) i \(\frac{1}{\ln(44n)}\geq \frac{1}{44n +1}\). Stąd
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{44}}{\ln(44n)}\geq\lim_{n\to\infty}\frac{n^{44}}{44n+1}=\infty\)
2. Liczymy pochodną f i sprawdzamy ekstrema
\(f'(x)=-\frac{26}{x^2}+4\)
\(0=f'(x)=-\frac{26}{x^2}+4
x^2=\frac{15}{2}\)
Stąd \(x=\pm\sqrt{\frac{15}{2}}\). Sprawdzamy znak funkcji f' na przedziale [1,50].
\(f'(1)=-26+4=-22\) z ciągłości f' i ponieważ f' nie ma pierwiastków w przedziale \((1,\sqrt{\frac{15}{2}})\), więc \(f'(x)<0\) dla \(1\leq x<\sqrt{\frac{15}{2}}\).
Podobnie \(f'(50)=-\frac{26}{50^2}+4>0\), więc \(f'(x)>0\) dla \(x\in(\sqrt{\frac{15}{2}},50]\)
Stąd f w punkcie \(x_0=\sqrt{\frac{15}{2}}\) ma minimum. Ponieważ f jest monotoniczna na lewo i prawo od \(x_0\), więc jedynymi punktami w których f osiąga wartość maksymalną są końce przedziału.
\(f(1)=26+4=30,\qquad f(50)=\frac{26}{50}+200\)
Czyli f osiąga maksimum w punkcie 50.