Granice ciągów i funkcji - Laik

[Rymciu]

Witam czy jest ktoś w stanie w prosty sposób wytłumaczyć jak się oblicza granice ciągów oraz granice funkcji ??
Mam problem ze zrozumieniem tego gdyż na zajęciach miałem zastępstwo i nauczycielka szybko z materiałem leciała
Jeśli chodzi o granice ciągów to potrafie rozwiązywać zadania typu:
2n + 1/n+1 , n^2 + 2n + 1/ n^2 - 3 , 2n/n^3 + 1 wiem w tym wypadku co dąży do zera a co nie oraz przez co mam podzielić.

Kłopot mam z już z zadaniami np.
pierwiastek n stopnia z 3 + pierwiastek n stopnia z 5
pierwiastek n stopnia z 2 - n/n+1
pierwiastek 2 stopnia z n^2 + 1 - pierwiastek 2 stopnia n^2 - n
pierwiastek 2 stopnia z n^2+ 6n - 1
oraz zadanie bardzo trudne dla mnie gdzie cały ciąg jest podniesiony do potegi 5n albo 3n+1

A jeśli chodzi o granice funkcji to na lekcji mi mówili ze gdy x -> 2 to pod wszystkie x nalezy 2 podstawiac i tak analogicznie do innej liczby.

Jeżeli ktos jest w stanie mi cos wytlumaczyc to prosiłbym o pomoc albo moge zamiescic zadania z zestawu ktory musze umieć i przy okazji ktos moze mi pomoc jednocześnie cwiczac sobie. Z góry dziekuje za poświecenie oraz za odpowiedź. Pozdrawiam

[Pol]

pierwiastek n-tego stopnia z liczby dąży do 1 czyli:
a) pierwiastek n stopnia z 3 + pierwiastek n stopnia z 5 = 2 (ale najlepiej zapisz przykład latexem)
b) analogicznie, tzn. pierwiastek n stopnia z 2 - n/n+1 = 2
c) trzeba wykorzystać wzór skróconego mnożenia (a-b)(a+b)=a^2-b^2 czyli

\((\sqrt {n^2+1} - \sqrt {n^2-n})(\sqrt {n^2+1} + \sqrt {n^2-n}) = (n^2+1) - (n^2-n) \\
(\sqrt {n^2+1} - \sqrt {n^2-n}) = \frac {(n^2+1) - (n^2-n)} {(\sqrt {n^2+1} + \sqrt {n^2-n})} = \frac {n+1} {(\sqrt {n^2+1} + \sqrt {n^2-n})} = \frac 1 2\)

d) jeśli to wygląda tak (używaj latexa!!!):

\(\sqrt {n^2+6n-1} = \infty\)

e) oraz zadanie bardzo trudne dla mnie gdzie cały ciąg jest podniesiony do potegi 5n albo 3n+1

podaj jakiś przykład bo możę trzeba użyc ciągu Eulera

[Rymciu]

a)\(\sqrt[n]{3}+\sqrt[n]{5}\)

b)\(\sqrt[n]{2}-\frac{n}{n+1}\)

jeśli chodzi o zadania e) te bardzo trudne to juz podaje przykład:

\(\left(\frac{2n+1}{2n+3}\right)^{3n+1}\)
\(\left(\frac{n^{2}+6}{n^{2}}\right)^{n2}\)
\(\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}\)

a wracajac do przykładu d) to zawsze jak cos jest pod pierwiastikiem to zawsze bedzie nieskonczoność ??

mam takie cos w notatkach zapisane:
\(\sqrt[n] {a} =1\) czyli mam rozumieć ze za każdym razem jak pod a podstawimy jakaś liczbę to wynik wyjdzie 1 ?? i jak to się ma w przypadku gdy zamiast n będzie np. 2 albo 3 stopień \(\sqrt[3] {a}\)
oraz \(\sqrt[n] {n} = 1\) czy tutaj chodzi ze zawsze wyjdzie 1 kiedy liczba pod pierwiastkiem oraz stopień jest taka sama.

Jakby co to mam 24 przykłady jeśli chodzi o granice ciągów oraz 10 przykładów z granic funkcji.
Bardzo dziękuje za odpowiedź na mojego posta. Pozdrawiam

[Pol]

a) 1 + 1 = 2

b) 1 - 1 = 0

d) jeśli stopień pierwiastka jest liczbą rzeczywistą (np stopień 2) to tak, nie przychodzi mi nic do głowy by było inaczej

\(\sqrt[n] {a} =1\) czyli mam rozumieć ze za każdym razem jak pod a podstawimy jakaś liczbę to wynik wyjdzie 1 ??

Tak.

i jak to się ma w przypadku gdy zamiast n będzie np. 2 albo 3 stopień \(\sqrt[3] {a}\)

To jest zwykła liczba, np \(\sqrt[3] {27}=3\)

\(\sqrt[n] {n} = 1\) czy tutaj chodzi ze zawsze wyjdzie 1 kiedy liczba pod pierwiastkiem oraz stopień jest taka sama.

nie pamiętam jak to mi wmawiali na uczelni ale na kalkulatorku sprawdziłem i wynika z niego że równość ta (n-ty stopien i n pod pierwiastkiem) jest prawdziwa

jeśli chodzi o zadania e) te bardzo trudne to juz podaje przykład:
\(\left(\frac{2n+1}{2n+3}\right)^{3n+1} \\
\left(\frac{n^{2}+6}{n^{2}}\right)^{n2} \\
\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}\)

tak jak myślałem, trzeba sprowadzić do Eulera, np

\(\left(\frac{2n+1}{2n+3}\right)^{3n+1} =(1+\frac {-2} {2n+3})^{3n+1}=(1+\frac {-2} {2n+3})^{\frac {2n+3} {-2} \cdot \frac {-2} {2n+3} \cdot 3n+1} = e^{-3} = \frac 1 {e^3}\)

[Rymciu]

Ooo dziękuje bardzo za pomoc. Będę musiał poświecić większą uwagę na ciągi Eulera.
a mam pytanie jeśli chodzi o granice funkcji. Rozwiązałem taki oto przykład:
\(\lim_{n\to\2} \frac {x^{2}+3x^{2}+2x}{x^{2}-x-6}\) dostałem za ten przykład tylko 0,5 pkt bo nie zrobiłem sprawdzenia a wynik wyszedł mi \(\frac{0}{0}\)


Mam jeszcze pytanie czy potrafisz rozwiązać pochodne bo wszystkie przykłady rozwiązałem oprócz 2 których nie jestem pewny

1) \(f(x) = ln \left(x^{2}+x+1\right)\)
2) \(f(x) = \frac {e^{x}}{sin \ x}\)

[Pol]

\(\lim_{n\to\2} \frac {x^{2}+3x^{2}+2x}{x^{2}-x-6}\) dostałem za ten przykład tylko 0,5 pkt bo nie zrobiłem sprawdzenia a wynik wyszedł mi \(\frac{0}{0}\)

chyba źle go przepisałeś.... bo mi nie wychodz 0 / 0

1)
\(f'(x) = \frac 1 {x^2+x+1} \cdot (2x+1)\)

2)
\(f'(x) = \frac {e^xsinx - e^xcosx} {sin^2x}\)