bardzo prosze o rozwiazanie tego zadania:
Zadanie 1
Udowodnić ze prosta\($E=\{(x_{1},x_{2});x_{1}=x_{2}\in \mathbb{R}\}$\) ma miarę Lebesgue'a równą zero.
Zadanie 2
Obliczyc całkę funkcji prostej f względem miary Lebesgue'a
\(\int _{A} f d\lambda gdzie, f(x,y)=\{3,\text{gdy} x=y; 4
\text{gdy}x\neq y \text{gdzie};
A=\{(x,y)\in \mathbb{R}; 1\leq x\leq
4, 0\leq y\leq2\}\)
miara lebesgue'a
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
miara lebesgue'a
Zbiór E jest wykresem funkcji, a każdy wykres funkcji ma miarę Lebesgue'a zero. Wynika to z faktu, że dla każdego punktu\((x,y)\) należącego do dziedziny zbiór \((x,y,f(x,y))\) jest jednopunktowy (bo \(f\) jest funkcją). Nie jest to precyzyjny dowód, odsyłam do literatury lub do internetu.
Natomiast w drugiej części całkę należy rozbić w ten sposób:
\(\int_{A}f\,d\lambda=3\cdot\lambda\left(\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2};\ x=y\right\}\right)+4\cdot\lambda\left(\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2};\ x\neq y\right\}\right)=3\cdot 0+4\cdot 3\cdot2=24.\)
Miara pierwszego zbioru, w którym \(x=y\) jest równa zero, co wynika z pierwszej części zadania. Miara drugiego zbioru, na którym \(x\neq y\) jest równa 6, jako miara prostokąta \(\left[1,4\right]\times\left[0,2\right]\) pomniejszona o zero.
Natomiast w drugiej części całkę należy rozbić w ten sposób:
\(\int_{A}f\,d\lambda=3\cdot\lambda\left(\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2};\ x=y\right\}\right)+4\cdot\lambda\left(\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2};\ x\neq y\right\}\right)=3\cdot 0+4\cdot 3\cdot2=24.\)
Miara pierwszego zbioru, w którym \(x=y\) jest równa zero, co wynika z pierwszej części zadania. Miara drugiego zbioru, na którym \(x\neq y\) jest równa 6, jako miara prostokąta \(\left[1,4\right]\times\left[0,2\right]\) pomniejszona o zero.