forum.zadania.info

proszę o pomoc w rozwiązaniu:

zbadaj czy podany ciąg jest ograniczony z dołu, z góry, jest ograniczony:

a)

\(a_n= \sqrt{n+8} - \sqrt{n+3}\)

b)

\(b_n= \frac{n^n}{n!}\)

c)

\(c_n=2^n-3^n\)

d)

\(d_n= \frac{1}{4^1+1}+ \frac{1}{4^2+2} + \frac{1}{4^3+3} +...+ \frac{1}{4^n+n}\)

e)

\(e_n=2^nsin \frac{n \pi }{2}\)

dziekuję

a)

\(a_n= \sqrt{n+8} - \sqrt{n+3} =\frac{n+8-n-3}{\sqrt{n+8} +\sqrt{n+3} }=\frac{5}{\sqrt{n+8} +\sqrt{n+3} }\)

\(0 \le a_n \le 1 \Rightarrow\) ciąg jest ograniczony

e)

\(e_n=2^n sin {\frac{n \pi }{2}}\) - nie jest ograniczony ani z góry, ani z dołu , bo:

dla \(n=2n+1\) \(sin{ \frac{n\pi}{2}} =-1\),

dla \(n=2n-1\) \(sin {\frac{n\pi}{2}} =1\).

natomiast \(2^n \to \infty\)

zatem \(e_n\) może przyjmoać wartości dowolnie male i dowolnie duże

c)

\(c_n=2^n-3^n=
(2-3) (2^{n-1} +2^{n-2} \cdot 3+2^{n-3} \cdot 3^2 +...+3^{n-1}) =
- (2^{n-1} +2^{n-2} \cdot 3+2^{n-3} \cdot 3^2 +...+3^{n-1})<0\)

\(c_n\) jest ograniczony z góry, nie jest ograniczony z dołu

d)

\(d_n= \frac{1}{4^1+1}+ \frac{1}{4^2+2} + \frac{1}{4^3+3} +...+ \frac{1}{4^n+n} <\frac{1}{4^1}+ \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} +...+ \frac{1}{4^n}= \frac{1}{4} \frac{1- \left( \frac{1}{4} \right)^n }{1- \frac{1}{4} }= \frac{1- \left( \frac{1}{4} \right)^n }{3 } \to \frac{1}{3}\)

zatem \(0<d_n< \frac{1}{3}\) (ciąg \(d_n\) jest ograniczony)

a b) mi nie chce wyjść... z dołu na pewno ograniczony (przez 0) a z góry chyba nie... ale jakoś nie umiem tego pokazać