proszę o pomoc w rozwiązaniu:
zbadaj czy podany ciąg jest ograniczony z dołu, z góry, jest ograniczony:
a)
\(a_n= \sqrt{n+8} - \sqrt{n+3}\)
b)
\(b_n= \frac{n^n}{n!}\)
c)
\(c_n=2^n-3^n\)
d)
\(d_n= \frac{1}{4^1+1}+ \frac{1}{4^2+2} + \frac{1}{4^3+3} +...+ \frac{1}{4^n+n}\)
e)
\(e_n=2^nsin \frac{n \pi }{2}\)
dziekuję
czy ciąg jest ograniczony z góry, z dołu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
d)
\(d_n= \frac{1}{4^1+1}+ \frac{1}{4^2+2} + \frac{1}{4^3+3} +...+ \frac{1}{4^n+n} <\frac{1}{4^1}+ \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} +...+ \frac{1}{4^n}= \frac{1}{4} \frac{1- \left( \frac{1}{4} \right)^n }{1- \frac{1}{4} }= \frac{1- \left( \frac{1}{4} \right)^n }{3 } \to \frac{1}{3}\)
zatem \(0<d_n< \frac{1}{3}\) (ciąg \(d_n\) jest ograniczony)
\(d_n= \frac{1}{4^1+1}+ \frac{1}{4^2+2} + \frac{1}{4^3+3} +...+ \frac{1}{4^n+n} <\frac{1}{4^1}+ \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} +...+ \frac{1}{4^n}= \frac{1}{4} \frac{1- \left( \frac{1}{4} \right)^n }{1- \frac{1}{4} }= \frac{1- \left( \frac{1}{4} \right)^n }{3 } \to \frac{1}{3}\)
zatem \(0<d_n< \frac{1}{3}\) (ciąg \(d_n\) jest ograniczony)