Funkcje TRYGONOMETRYCZNE

[jacekvr]

Udowodnij następujące wzory redukcyjne:
a) cos( \pi -t)=-cost
b) ctg(-t)=-ctgt

[Pol]

korzystając z: \(cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)\)

mamy:

\(cos(\pi-t)=cos(\pi )cos(t) - sin( \pi )sin (t) = -1 \cdot cos( t) - 0 \cdot sin (t) = -cos(t)\)

w drugim najpierw zamienić lewą stronę na \(\frac{cos(0-t)}{sin(0-t)}\) a później ze wzorów na różnicę

[Galen]

W obu dowodach wykorzystaj definicje funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych.
\(cost= \frac{x}{r}
ctgt= \frac{x}{y}\;\;\;\;gdzie \;x \;\;i\;\;y\;\;\)to współrzędne punktu \(P=(x,y)\) na końcowym ramieniu
kąta t,\(r= \sqrt{x^2+y^2}\) jest promieniem wodzącym tego punktu.
a)Punktowi P=(x;y) po obrocie do otrzymania kąta \(\pi -t\) odpowiada punkt \(P'=(-x;y)\)
Zgodnie z definicją \(cos( \pi -t)= \frac{-x}{r}=- \frac{x}{r}=-cost\)
b)Punktowi P=(x;y) po obrocie do otrzymania kąta (-t) odpowiada punkt \(P''=(x;-y)\)
Zgodnie z definicją \(ctg(-t)= \frac{x}{-y}=- \frac{x}{y}=-ctgt\)

Narysuj układ współrzędnych i wskaż te kąty oraz punkty P,P',P'' i wszystko będzie jasne.