Równanie i nierówności

[Bokeh]

Mam do rozwiązania następujące równania i nierówności. Kompletnie nie wiem co i jak, proszę o pomoc w rozwiązaniu.

1. \(x^2=|1-2x|\)

2. \(\frac{7}{x^2-5x+6}+1 \le \frac{2}{3-x}\)

3.\(sin 3x+cos 5x=0\)

4.\(ctg x+ \frac{sinx}{1+cosx}=2\)

5.\(2cos^22x-3cos2x+1>0\)

6.\(2^sqrt{x}=\sqrt{16^sqrt{x}}-2\)

[mgrobel]

1.
\(|1-2x|=x^2\)
Przedziały:
\(\begin{cases}(- \infty , \frac{1}{2})\\1-2x=x^2 \end{cases}\) \(\vee\) \(\begin{cases} \le \frac{1}{2}, \infty ) \\-(1-2x)=x^2 \end{cases}\)
\(\begin{cases}(- \infty , \frac{1}{2})\\x^2+2x-1=0 \end{cases}\) \(\vee\) \(\begin{cases} \le \frac{1}{2}, \infty ) \\x^2-2x+1=0 \end{cases}\)

Liczymy dla obu wielomianów \(\Delta\) i pierwiastki

\(\begin{cases}(- \infty , \frac{1}{2})\\x=-1- \sqrt{2} \vee x=-1+ \sqrt{2} \end{cases}\) \(\vee\) \(\begin{cases} \le \frac{1}{2}, \infty ) \\x=1 \end{cases}\)

Wszyskie liczby mieszczą się w przedziałach więc odpowiedź jest taka: \(x \in \left\{-1- \sqrt{2},-1+ \sqrt{2},1 \right\}\)

[anka]

2.
\(\frac{7}{x^2-5x+6}+1 \le \frac{2}{3-x}\)
dziedzina:
\(x^2-5x+6 \neq 0 \ i \ 3-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2,x \neq 3\)

\(\frac{7}{(x-2)(x-3)}+1 \le \frac{2}{3-x}\)

\(\frac{7}{(x-2)(x-3)}+ \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)} +\frac{2(x-2)}{(x-2)(x-3)} \le0\)

\(\frac{7+(x-2)(x-3)+ (x-2)(x-3)+2(x-2)}{(x-2)(x-3)} \le0\)

\(\frac{2x^2 - 8x + 15}{(x-2)(x-3)} \le0\)

\((2x^2 - 8x + 15)(x-2)(x-3) \le0\)

\(x \in <2,3>\)
Po uwzględnieniu dziedziny \(x \in (2,3)\)

[Pol]

Zad.6

\(2^sqrt{x}=\sqrt{16^sqrt{x}}-2\)

\(D: x \ge 0\)

\(2^sqrt{x}=(2^sqrt{x})^2-2
2^sqrt{x}=t \ , \ t \ge 1
t^2-t-2=0
t_1=-1 \notin D
t_2=2 \ \Rightarrow \ x=1\)

[Lbubsazob]

Zad. 4
\(\cot x+ \frac{\sin x}{1+\cos x}=2 \\
\frac{\cos x}{\sin x}+ \frac{\sin x}{1+\cos x}=2\)

Zał. \(\sin x \neq 0 \wedge \cos x \neq -1 \Rightarrow x \neq 0+2k\pi \wedge x \neq \pi +2k\pi\)
\(\frac{\cos x(1+\cos x) }{\sin x(1+\cos x) } + \frac{\sin ^2 x}{\sin x(1+\cos x)} =2 \\
\frac{\cos x+\cos ^2 x+\sin^2x}{\sin x(1+\cos x)}=2 \\
\frac{1+\cos x}{\sin x (1+\cos x)}=2 \\
\frac{1}{\sin x}=2 \\
\sin x= \frac{1}{2} \\
x= \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x= \frac{5}{6} \pi +2k\pi\)

[jola]

zad 3.
\(\sin 3x+\cos 5x=0\)

\(\cos ( \frac{ \pi }{2}-3x)+\cos 5x=0\)

\(2 \cdot \cos \frac{ \frac{ \pi }{2}-3x+5x }{2} \cdot \cos \frac{ \frac{ \pi }{2}-3x-5x }{2}=0\)

\(\cos ( \frac{ \pi }{4}+x)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{ \pi }{4}+x= \frac{ \pi }{2}+k \pi \ \ \ \Rightarrow\ \ \ x= \frac{ \pi }{4}+k \pi \ \ \ \wedge \ \ k \in C\)

\(\ \vee\)

\(\cos( \frac{ \pi }{4}-4x)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{ \pi }{4}-4x= \frac{ \pi }{2}+k \pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ -4x= \frac{ \pi }{4}+k \pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=- \frac{ \pi }{16}- \frac{k \pi }{4}\ \ \ \wedge \ \ k \in C\)

[jola]

zad 5.

\(\begin{cases}2\cos^2 2x-3\cos 2x+1 \ge 0\\ \cos 2x=t\\ t \in <-1\ ;\ 1> \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}t=\cos 2x\\ t \in <-1\ ;\ 1>\\ 2t^2-3t+1 \ge 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ t \in (- \infty ;\ \frac{1}{2}>\ \cup \ <1\ ;\ + \infty ) \end{cases}\ \ \

\Rightarrow \ \ \begin{cases}t=\cos 2x\\ -1 \le t \le \frac{1}{2}\ \ \vee \ \ t=1 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \\)

\(\ \ \Rightarrow \ \ -1 \le \cos 2x \le \frac{1}{2}\ \ \ \vee \ \ \ \cos 2x=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{ \pi }{3}+2k \pi \le 2x \le \frac{5}{3} \pi +2k \pi \ \ \ \vee \ \ \ 2x=2k \pi \ \ \

\Rightarrow\ \ \ \frac{ \pi }{6}+k \pi \le x \le \frac{5}{6} \pi +k \pi \ \ \ \vee \ \ \ x=k \pi\ \ \ \wedge \ \ k \in C\)