granice ciągów

[rubensdb]

Pomożecie mi te przykłady rozwiązać? dopiero zaczynam i nie mogę tych granic zrozumieć. Bardzo proszę o pomoc choćby jednego .
a)
\(\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^2+4}}{3n-2}\)

b)
\(\lim_{n\to \infty} (n-\sqrt{n^2+5n})\)

c)
\(\lim_{n\to \infty} \frac{5\cdot3^{2n}-1}{4\cdot9^n+7}\)

d)
\(\lim_{n\to \infty} (\frac{n^2+1}{n^2+n})^{2n-1}\)

e)
\(\lim_{n\to \infty} \frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{3^n}}\)

f)
\(\lim_{n\to \infty} \frac{n!}{n^n}\)

g)
\(\lim_{n\to \infty} \frac{1}{2n}cos(n^3)-\frac{3n}{6n+1}\)

[irena]

Napisałam Ci zadania w LATEXie. Przeczytaj REGULAMIN. Bo następnym razem skany wylądują na Śmietniku.

a)
\(\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^2+4}}{3n-2}= \lim_{n\to \infty} \frac{n\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{n(3-\frac{2}{n})}= \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{3-\frac{2}{n}}=\frac{\sqrt{1-0}}{3-0}=\frac{1}{3}\)

[irena]

b)
\(\lim_{n\to \infty} (n-\sqrt{n^2+5n})= \lim_{n\to \infty} \frac{(n-\sqrt{n^2+5n})(n+\sqrt{n^2+5n})}{n+\sqrt{n^2+5n}}= \lim_{n\to \infty} \frac{n^2-n^2-5n}{n+\sqrt{n^2+5n}}=\\= \lim_{n\to \infty} \frac{5n}{n+\sqrt{n^2+5n}}= \lim_{n\to \infty} \frac{-5n}{n+n\sqrt{1+\frac{5}{n}}}= \lim_{n\to \infty} \frac{-5}{1+\sqrt{1+\frac{5}{n}}}=\frac{-5}{1+\sqrt{1}}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}\)

[irena]

c)
\(\lim_{n\to \infty} \frac{5\cdot3^{2n}-1}{4\cdot9^n+7}= \lim_{n\to \infty} \frac{5\cdot9^n-1}{4\cdot9^n+1}=\\= \lim_{n\to \infty} \frac{5\cdot(\frac{9}{9})^n-\frac{1}{9^n}}{4+\frac{1}{9^n}}=\frac{5\cdot1-0}{4+0}=\frac{5}{4}\)

[irena]

e)
\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{2^n-1}{2^n}}{\frac{1}{2}}=2(1-\frac{1}{2^n})\)

\(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{3^n}=\frac{3}{2}(1-\frac{1}{3^n})\)

\(\lim_{n\to \infty} \frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{3^n}}=\\= \lim_{n\to \infty} \frac{2(1-\frac{1}{2^n})}{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{3^n})}= \lim_{n\to \infty} \frac{4(1-\frac{1}{2^n})}{3(1-\frac{1}{3^n})}=\frac{4(1-0)}{3(1-0)}=\frac{4}{3}\)

[irena]

g)
\(-1\le\ cos(n^3)\le1\)

\(\lim_{n\to \infty} (\frac{1}{2n}\cdot\ cos(n^3)-\frac{3n}{6n-1})= \lim_{n\to \infty} \frac{cos(n^3)}{2n}- \lim_{n\to \infty} \frac{3n}{6n+1}=(*)\\ \left(\lim_{n\to \infty} \frac{cos(n^3)}{2n}=0\\ \lim_{n\to \infty} \frac{3n}{6n+1}= \lim_{n\to \infty} \frac{3}{6-\frac{1}{n}}=\frac{3}{6-0}=\frac{1}{2} \right) \\(*)=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\)

[dawid0512]

Napisałam Ci zadania w LATEXie. Przeczytaj REGULAMIN. Bo następnym razem skany wylądują na Śmietniku.

a)
\(\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^2+4}}{3n-2}= \lim_{n\to \infty} \frac{n\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{n(3-\frac{2}{n})}= \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{3-\frac{2}{n}}=\frac{\sqrt{1-0}}{3-0}=\frac{1}{3}\)

nie powinno być \(n^2\)

\(\lim_{n\to \infty} \frac{n^2\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{n(3-\frac{2}{n})}\) ???

Czy to odrazu z pod pierwiasta wyciągnięte jest ?

[irena]

\(\sqrt{n^2+4}=\sqrt{n^2(1+\frac{4}{n^2})}=n\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}\)

[rubensdb]

Wielkie dzięki za pomoc i przepraszam że nie użyłem latexu, bardzo mi pomogliście.

[janusz47]

f) \(0 < \lim _{n \to \infty}\frac{n!}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot ...\cdot \frac{n}{n}\leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)
Z twierdzenia o trzech ciągach granica jest równa 0