1. 1+2+...+n
2. \(a+aq+...+aq^n-1\)
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oblicz sumy-indukcja matematyczna
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\(1+2+3+...+n=\frac{1+n}{2}\cdot\ n\)
\(n=1\\L=1\\P=\frac{1+1}{2}\cdot1=1\\L=P\)
\(k\in\ N\)
\(Z.\\1+2+3+...+k=\frac{1+k}{2}\cdot\ k\\T.\\1+2+...+k+k+1=\frac{1+k+1}{2}(k+1)=\frac{k+2}{2}(k+1)\\D.\\L=1+2+...+k+k+1=\frac{1+k}{2}\cdot\ k+k+1=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{k+2}{2}(k+1)\\L=P\)
\(1+2+3+...+n=\frac{1+n}{2}\cdot\ n\)
\(n=1\\L=1\\P=\frac{1+1}{2}\cdot1=1\\L=P\)
\(k\in\ N\)
\(Z.\\1+2+3+...+k=\frac{1+k}{2}\cdot\ k\\T.\\1+2+...+k+k+1=\frac{1+k+1}{2}(k+1)=\frac{k+2}{2}(k+1)\\D.\\L=1+2+...+k+k+1=\frac{1+k}{2}\cdot\ k+k+1=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{k+2}{2}(k+1)\\L=P\)
2.
\(a+aq+aq^2+...+aq^{n-1}=a\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\)
\(n=1\\L=a\\P=a\cdot\frac{1-q}{1-q}=a\cdot1=a\\L=P\)
\(k\in N\\Z.\\a+aq+aq^2+...+aq^{k-1}=a\cdot\frac{1-q^k}{1-q}\\T.\\a+aq^aq^2+...+aq^{k-1}+aq^k=a\cdot\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\D.\\L=a+aq+aq^2+...+aq^{k-1}+aq^k=a\cdot\frac{1-q^k}{1-q}+aq^{k+1}=\frac{a(1-q^k)+aq^k(1-q)}{1-q}=\\=\frac{a-aq^k+aq^k-aq^{k+1}}{1-q}=\frac{a-aq^{k+1}}{1-q}=\frac{a(1-q^{k+1})}{1-q}=a\cdot\frac{1-q^{k+1}}{1-q}\\L=P\)
\(a+aq+aq^2+...+aq^{n-1}=a\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\)
\(n=1\\L=a\\P=a\cdot\frac{1-q}{1-q}=a\cdot1=a\\L=P\)
\(k\in N\\Z.\\a+aq+aq^2+...+aq^{k-1}=a\cdot\frac{1-q^k}{1-q}\\T.\\a+aq^aq^2+...+aq^{k-1}+aq^k=a\cdot\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\D.\\L=a+aq+aq^2+...+aq^{k-1}+aq^k=a\cdot\frac{1-q^k}{1-q}+aq^{k+1}=\frac{a(1-q^k)+aq^k(1-q)}{1-q}=\\=\frac{a-aq^k+aq^k-aq^{k+1}}{1-q}=\frac{a-aq^{k+1}}{1-q}=\frac{a(1-q^{k+1})}{1-q}=a\cdot\frac{1-q^{k+1}}{1-q}\\L=P\)
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