Wielomiany + Ciągi

[s2b3k]

1. wyznacz licze rozwiazan rownania (m+1)x^2 - (m+1)x -1 =0 w zaleznosci od parametru m. dla jakich wartosci parametru m rownanie to ma dwa rozne pierwiastki, oba wieksze od 2 ?
2. nie wykonujac dzielenia, wykaz, ze W(x)=x^4-x^3-4x^2-2x-12 jest podzielny przez V(x)=x^2-x-6. rozwiaz rownanie w(x)=0.
3. rozwiaz rownanie przyjmujac, ze lwa strona jest suma pewnej liczby kolejnych wyrazow ciagu arytmetycznego 2+5+8+...+x=155.
4. rozwiaz rownanie x/(x-1) + x/(x-1)^2 + x/(x-1)^3 + ... <1, w ktorym lewa strona jest suma nieskonczonego zbieznego szeregu geometrycznego.

Mógłby ktoś uratować? Dzięki z góry.

[jola]

zad 4.
\(\begin{cases}x \neq 1\\|q|=| \frac{1}{x-1}| <1\\ S= \frac{a^1}{1-q}= \frac{ \frac{x}{x-1} }{1- \frac{1}{x-1}}= \frac{x}{x-2}<1 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}x \neq 1\\ |x-1|>1\\ \frac{x}{x-2} -1<0 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}x \neq 1\\ x-1>1\ \ \vee \ \ x-1<-1\\ \frac{2}{x-2}<0 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}x \neq 1\\ x>2\ \ \ \vee \ \ \ x<0\\ x<2 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x<0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in R_{-}\)

[jola]

zad 3.

\(\begin{cases}a_1=2\\ r=3\\a_n=x=2+(n-1)3=3n-1\\ S= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n= \frac{2+3n-1}{2} \cdot n=155 \\ n \in N_+ \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases}x=3n-1\\ \frac{3n+1}{2} \cdot n=155\\ n \in N_+ \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ x=29\)

[jola]

zad 2.

\(W(x):V(x)=(x^4-x^3-4x^2-2x-12):(x^2-x-6)=x^2+2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ W(x)=(x^2-x-6) \cdot (x^2+2)=(x+2)(x-3)(x^2+2)\)

\(\begin{cases} W(x)=(x+2)(x-3)(x^2+2)\\ W(x)=0\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=-2\ \ \vee \ \ \ x=3\)

[jola]

zad 1.
a=m+1
\(\Delta =(m+1)^2+4(m+1)=(m+1)(m+5)\)

jeżeli m=-1 to równne przyjmuje postać -1=0 co jest sprzecznością\(\ \ \ \Rightarrow \ \\)dla m=-1 równanie nie ma rozwiązań

równanie ma jedno rozwiązanie jeżeli\(\ \ \begin{cases}m+1 \neq 0\\ \Delta =0 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}m \neq -1\\ m=-1\ \ \vee \ \ m=-5 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ m=-5\)

równanie nie ma rozwiązań jeżeli\(\ \ \begin{cases}m+1 \neq 0\\ \Delta <0 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}m \neq -1\\ m \in (-5\ ;\ -1) \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ m \in (-5\ ;\ -1)\)

równanie ma dwa rozwązania jeżeli\(\ \ \ \begin{cases}m+1 \neq 0\\ \Delta >0 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}m \neq -1\\ m \in (- \infty \ ;\ -5)\ \cup \ (-1\ ;\ + \infty ) \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ m \in (- \infty \ ;\ -5)\ \cup \ (-1\ ;+ \infty )\)

odp: jeżeli \(\ \ m=-5\ \\)to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: jeżeli\(\ \ m \in (-5\ ;\ -1>\ \\)to równanie nie ma rozwiązań; jeżeli \(\ \ m \in (- \infty \ ;\ -5)\ \cup \ (-1\ ;\ + \infty )\ \\)to równanie ma dwa rozwiązania

[jola]

zad 1 cd
równanie ma dwa różne rozwiązania obydwa większe od 2 jeżeli : \(\ \begin{cases}m+1 \neq 0\\ \Delta >0 \end{cases}\ \ \Rightarrow \ \ m \in (- \infty \ ;\ -5)\ \cup \ (-1\ :\ + \infty )\)

oraz

\(\begin{cases}x_1>2\\ x_2>2 \end{cases}\ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases}x_1-2>0\\ x_2-2>0 \end{cases} \ \ \Rightarrow\ \ \begin{cases}x_1-2+x_2-2>0\\ (x_1-2) \cdot (x_2-2)>0\end{cases}\ \ \
\Rightarrow \ \ \ \begin{cases}x_1+x_2-4>0\\ x_1 \cdot x_2-2(x_1+x_2)+4>0\\ x_1+x_2= \frac{m+1}{m+1}=1\\ x_1 \cdot x_1= \frac{-1}{m+1} \end{cases}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \begin{cases}1-4>0\ \ \ \Rightarrow \ \ sprzeczne\\1+ \frac{2}{m+1}+4>0 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ m \in \emptyset\)

odp: Nie istnieje m , dla którego obydwa rozwiązania są większe od 2.

[s2b3k]

Dzięki wielkie, pozdrawiam.