oblicz granice funkcji.Nie stosuj reguły l'Hospitala

[Aga1420]

1. \(\lim_{x\to1 }\) \(\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}\) odpowiedz to 1

2.\(\lim_{x\to 3}\)\(\frac{27-x^3}{x^2+x-12}\) odpowiedz to -27/7

3. \(\lim_{x\to-\infty} \left( \right) \sqrt{x^2-5x} -x\) odpowiedz to + nieskonczonosc

4.\(\lim_{x\to\infty \frac{x^3}{2x^2-1} - \frac{x^2}{2x+1} }\) odpowiedz to 1/4

5.\(\lim_{x\to-1 \frac{1}{1-x}+ \frac{1}{1-x^3} }\) odpowiedz to 1

[Aga1420]

Proszę pomóżcie mi to rozwiązać

[Pol]

1. rozłożyć na czynniki i skrócić jeśli się da

\(\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}=\frac{(x-1)(x^3+x^2+x-2)}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-3)}=\frac{x^3+x^2+x-2}{x^4+x^3+x^2+x-3}\)

\(\lim_{x\to1 }\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}=\lim_{x\to1 }\frac{x^3+x^2+x-2}{x^4+x^3+x^2+x-3}=\frac{1+1+1-2}{1+1+1+1-3}=1\)

przykład 2 analogicznie

[Pol]

3. zastosować wzór skróconego mnożenia \((a-b)=\frac{a^2-b^2}{a+b}\)

\(\lim_{x\to-\infty} \left( \right) \sqrt{x^2-5x} -x=\lim_{x\to-\infty} \frac{x^2-5x-x^2}{\sqrt{x^2-5x}+x}=\lim_{x\to-\infty} \frac{\frac{-5x}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{5x}{x^2}}+\frac{x}{x}}=\frac{-5}{\sqrt{1-0}+1}-\frac 5 2\)

wynik wyszedł inny, może gdzieś literówka w przykładzie, dla \(x=10^7\) wartość \(\sqrt{x^2-5x} -x\) wynosi \(-2,50000031248965\) więc odpowiedz \(-\frac 5 2\) jak najbardziej poprawna

[Pol]

4. sprowadzić do wspólnego mianownika i zsumować wyrażenia

\(\lim_{x\to\infty} \frac{x^3}{2x^2-1} - \frac{x^2}{2x+1}=\lim_{x\to\infty} \frac{2x^4+x^3-2x^4+x^2}{(2x^2-1)(2x+1)}=\lim_{x\to\infty} \frac{x^3+x^2}{4x^3+2x^2-2x-1}
=\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x^3}{x^3}+\frac{x^2}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3}+\frac{2x^2}{x^3}-\frac{2x}{x^3}-\frac{1}{x^3}}=\frac{1+0}{4+0-0-0}=\frac 1 4\)

5. podstawić \(-1\) pod \(x\) i otrzymamy \(\frac 1 2 + \frac 1 2\) czyli \(1\)

[Aga1420]

Dziękuje bardzo ;** ;)