Obliczyć granice ciągu

[transient]

Witam, mam problem z takim oto zadaniem:

1) Oblicz granicę ciągu:

\(\lim_{n\to \infty } (1 - \frac{1}{n^2})^n\)

Generalnie to wiem, że powinienem sprowadzić to do takiej formy abym mógł zamienić to na potęgę liczby e tylko jak? (Bo ten minus w nawiasie mi bruździ)


2)
\(\lim_{n\to \infty } ( \frac{n^2 +2}{2n^2 +1} )^{n^2}\)

3) Obliczyć granicę ciągu \(u_n = sqrt{n +\sqrt{n}} - sqrt{n -\sqrt{n}}\) (Próbowałem z tw. o trzech ciągach ale coś nie działa...)
Z góry dziękuję za odpowiedź
Pozdrawiam

[Galen]

1)
Polecam tw.\(\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{a}{n})^n=e^a\)

\(\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{-1}{n^2})^{n^2 \cdot \frac{1}{n}}=

= \lim_{n\to \infty } (e^{-1})^{ \frac{1}{n}} =(e^{-1})^0=1\)

[Galen]

2)
\(\lim_{n\to \infty }( \frac{n^2+2}{2n^2+1})^{n^2}= \lim_{n\to \infty }( \frac{1+ \frac{2}{n^2} }{2+ \frac{1}{n^2} })^{n^2}=

= \frac{e^2}{(2+0)^ \infty }= \frac{e^2}{ \infty }=0\)

[transient]

Dzięki serdeczne za pomoc. Przepraszam, że dopiero teraz odpisuję.

[Lbubsazob]

Zad. 3
\(\lim_{ n\to \infty } \left( \sqrt{n+ \sqrt{n} }- \sqrt{n- \sqrt{n} } \right)=\lim_{ n\to \infty } \frac{\left( \sqrt{n+ \sqrt{n} }- \sqrt{n- \sqrt{n} } \right)\left( \sqrt{n+ \sqrt{n} }+ \sqrt{n- \sqrt{n} } \right)}{\left( \sqrt{n+ \sqrt{n} }+ \sqrt{n- \sqrt{n} } \right)}= \\
= \lim_{n \to \infty } \frac{n+ \sqrt{n}-n+ \sqrt{n} }{ \sqrt{n+ \sqrt{n^2\left( \frac{1}{n} \right) } } + \sqrt{n- \sqrt{n^2\left( \frac{1}{n} \right) } } } = \lim_{n \to \infty } \frac{2\sqrt n}{ \sqrt{2n} }= \lim_{n \to \infty } \frac{2 \sqrt{n^2\left( \frac{1}{n} \right) } }{ \sqrt{n^2\left( \frac{2}{n} \right) } }= \frac{2n}{n}=2\)