kresy zbiorów - wykazanie własności

[tometomek91]

udowodnij, ze jezeli zbior A jest niepusty i ograniczony, to

sup(-A)=-inf(A)

[escher]

Niech a będzie kresem górnym zbioru -A. mamy pokazać, że -a jest kresem dolnym zbioru A.

Wiemy, że każdy element -x zbioru -A jest mniejszy od a.
Jeśli \(x\in A\), to \(-x\in -A\), więc -x<a, a stąd x>-a.
Zatem -a jest ogramiczeniem dolnym zbioru A.
Trzeba jeszcze pokazać, że jest największym ograniczeniem dolnym.
Rozważmy liczbę \(-a+\varepsilon > a\). Wiemy, że a jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru -A, więc
istnieje element \(-x\in -A\), który jest mniejszy od \(a-\varepsilon\), ale wtedy
\(x\in A\) oraz \(x > -a+\varepsilon\), czyli \(-a+\varepsilon\) nie jest ograniczeniem dolnym A.
Stąd największym ograniczeniem dolnym A jest \(-a\), co należało dowieść.

[tometomek91]

dzięki!