funkcja okresowa

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
puzon
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 135
Rejestracja: 01 sty 2010, 23:09
Podziękowania: 40 razy

funkcja okresowa

Post autor: puzon »

Wykazać, że funkcja f jest okresowa, gdy
\(f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}, \ x\in R\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

\(f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)

\(f(x+2)=\frac{1+f(x+1)}{1-f(x+2)}=\frac{1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}{1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}=\frac{1-f(x)+1+f(x)}{1-f(x)-1-f(x)}=-\frac{1}{f(x)\)

\(f(x+3)=\frac{1-\frac{1}{f(x)}}{1+\frac{1}{f(x)}}=\frac{f(x)-1}{f(x)+1}\)

\(f(x+4)=\frac{1+\frac{f(x)-1}{f(x)+1}}{1-\frac{f(x)-1}{f(x)+1}}=\frac{f(x)+1+f(x)-1}{f(x)+1-f(x)+1}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)\)

\(f(x+4)=f(x)\)

Funkcja jest okresowa. Okres jest równy 4.
ODPOWIEDZ