oblicz granicę

[kubar091]

\(\lim_{n\to \infty } \sqrt[3]{n^3+5n+1}-\sqrt[3]{n^3+5n}\)
proszę o wyjaśnienie i z góry dziękuję

[irena]

Jest to granica typu \((\infty-\infty)\).
Trzeba przemnożyć i podzielić tę różnicę przez tak zwane sprzężenie, czyli przez sumę, korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów.
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)

\(\lim_{n\to \infty} (\sqrt[3]{n^3+5n+1}-\sqrt[3]{n^3+5n})=\)
\(= \lim_{n\to \infty} \frac{(\sqrt[3]{n^3+5n+1}-\sqrt[3]{n^3+5n})\cdot[(\sqrt[3]{n^3+5n+1})^2+\sqrt[3]{(n^3+5n+1)(n^3+5n)}+(\sqrt[3]{n^3+5n})^2}{(\sqrt[3]{n^3+5n+1})^2+\sqrt[3]{(n^3+5n+1)(n^3+5n)}+(\sqrt[3]{n^3+5n})^2}=\)
\(= \lim_{n\to \infty} \frac{n^3+5n+1-n^3-5n}{(\sqrt[3]{n^3+5n+1})^2+\sqrt[3]{(n^3+5n+1)(n^3+5n)}+(\sqrt[3]{n^3+5n})^2}=\)
\(= \lim_{n\to \infty} \frac{1}{(\sqrt[3]{n^3+5n+1})^2+\sqrt[3]{(n^3+5n+1)(n^3+5n)}+(\sqrt[3]{n^3+5n})^2}=0\)

Licznik tego ułamka jest równy 1, a mianownik dąży do nieskończoności.

[kubar091]

a to dobrze mi wyszło
teraz tak sobie przerabiam to co miałem na ćwiczeniach...
przykład podobny do tego już nie będę pisał...
\((\sqrt[3]{n^3+4n^2+3n+2})^2=n^2 (\sqrt[3]{1+ \frac{4}{n}+ \frac{3}{n^2}+ \frac{2}{n^3} }\ )^2\)
czy ten zapis jest poprawny? jeśli tak to znaczy że zrozumiałem

[irena]

Zapis poprawny.

[kubar091]

a jeszcze tak sobie myślę...bo wyszło mi 0 ale nie wiem dlaczego dąży do nieskończoności ten mianownik, ja wyłączyłem \(n^2\) coś w ten deseń : \(\frac{1}{n^2 (\sqrt[3]{1+ \frac{5}{n^2}+ \frac{1}{n^3})^2+ n^2... } }\) i doszedłem do tego, że \(\frac{ \frac{1}{n^2} }{duzy mianownik}\) i skoro góra=0 to granica tez 0

można tak?

[Galen]

Jeśli w liczniku masz wielkość stałą,a w mianowniku nieskończenie wielką,to już nie musisz dzielić licznika i mianownika
przez \(n^2\),tylko ustalić granicę jako zero.
\(\lim_{x\to + \infty } \frac{c}{+ \infty }=0\)