1) \(\lim_{x \to 0} \ \left(1+\tan 2x \right)^{\cot 4x}\)
2) \(\lim_{x\to 0} \ \frac{3^{2x}-1}{6^x-1}\)
Na jedną i drugą nie mam pomysłu.
Granice funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1)
\(\lim_{x\to 0 } (1+tg2x)^{ctg4x}\)
Nie jestem pewna, czy dobrze myślę, ale ja wprowadziłabym tu dodatkową zmienną:
\(\frac{1}{tg2x}=u\\tg2x=\frac{1}{u}\\(x \to 0)\ \Rightarrow \ (u \to \infty)\)
\(ctg4x=\frac{1-tg^22x}{2tg2x}=\frac{1-\frac{1}{u^2}}{2\cdot\frac{1}{u}}=\frac{u^2-1}{2u}=\frac{1}{2}u-\frac{1}{2u}\)
\(\lim_{x\to 0 } (1+tg2x)^{ctg4x}= \lim_{u\to \infty} (1+\frac{1}{u})^{\frac{u}{2}-\frac{1}{2u}}= \lim_{u\to \infty} \frac{[(1+\frac{1}{u})^u]^{\frac{1}{2}}}{(1+\frac{1}{u})^{\frac{1}{2u}}}=\frac{\sqrt{e}}{1^0}=\sqrt{e}\)
\(\lim_{x\to 0 } (1+tg2x)^{ctg4x}\)
Nie jestem pewna, czy dobrze myślę, ale ja wprowadziłabym tu dodatkową zmienną:
\(\frac{1}{tg2x}=u\\tg2x=\frac{1}{u}\\(x \to 0)\ \Rightarrow \ (u \to \infty)\)
\(ctg4x=\frac{1-tg^22x}{2tg2x}=\frac{1-\frac{1}{u^2}}{2\cdot\frac{1}{u}}=\frac{u^2-1}{2u}=\frac{1}{2}u-\frac{1}{2u}\)
\(\lim_{x\to 0 } (1+tg2x)^{ctg4x}= \lim_{u\to \infty} (1+\frac{1}{u})^{\frac{u}{2}-\frac{1}{2u}}= \lim_{u\to \infty} \frac{[(1+\frac{1}{u})^u]^{\frac{1}{2}}}{(1+\frac{1}{u})^{\frac{1}{2u}}}=\frac{\sqrt{e}}{1^0}=\sqrt{e}\)