obliczyć pochodne funkcji.

ankaaa993 · Post autor: **ankaaa993** » 30 wrz 2010, 19:16

Nie mogę sobie poradzić z tymi dwoma podpunktami:
\(a)u=\frac{1}{v- \sqrt{a^{2}+v^{2}} }\)

\(b)u= \frac{ \sqrt{1+v}- \sqrt{1-v} }{ \sqrt{1+v}+ \sqrt{1-v} }\)

irena · Post autor: **irena** » 30 wrz 2010, 19:35

a)
\(u'(v)=\frac{-(1-\frac{1}{2\sqrt{a^2+v^2}}\cdot2v)}{(v-\sqrt{a^2+v^2})^2}=\frac{-1+\frac{v}{\sqrt{a^2+v^2}}}{(v-\sqrt{a^2+v^2})^2}=\frac{v-\sqrt{a^2+v^2}}{\sqrt{a^2+v^2}(v-\sqrt{a^2+v^2})^2}=\frac{1}{\sqrt{a^2+v^2}(v-\sqrt{a^2+v^2})}\)

irena · Post autor: **irena** » 30 wrz 2010, 19:53

b)
\(u(v)=\frac{f(v)}{g(v)}\)

\(f'(v)=(\sqrt{1+v}-\sqrt{1-v})'=\frac{1}{2\sqrt{1+v}}-\frac{-1}{2\sqrt{1-v}}=\frac{\sqrt{1+v}+\sqrt{1-v}}{2\sqrt{1-v^2}}\)

\(g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+v}}+\frac{-1}{2\sqrt{1-v}}=\frac{\sqrt{1-v}-\sqrt{1+v}}{2\sqrt{1-v^2}}\)

\(u'(v)=\frac{\frac{(\sqrt{1+v}+\sqrt{1-v})^2}{2\sqrt{1-v^2}}-\frac{(\sqrt{1-v}-\sqrt{1+v})^2}{2\sqrt{1-v^2}}}{(\sqrt{1+v}+\sqrt{1-v})^2}=\frac{\frac{1+v+1-v+2\sqrt{1-v^2}-1+v-1-v+2\sqrt{1-v^2}}{2\sqrt{1-v^2}}}{1+v+1-v+2\sqrt{1-v^2}}=\\=\frac{2}{2+2\sqrt{1-v^2}}=\frac{1}{1+\sqrt{1-v^2}}\)

ankaaa993 · Post autor: **ankaaa993** » 04 paź 2010, 16:25

odpowiedź w punkcie b:
\(u'= \frac{1- \sqrt{1-v^{2}} }{v^{2} \sqrt{1-v^{2}} }\)
nie wiem dlaczego..

irena · Post autor: **irena** » 04 paź 2010, 18:28

\(\frac{\frac{(\sqrt{1+v}+\sqrt{1-v})^2}{2\sqrt{1-v^2}}+\frac{(\sqrt{1-v}-\sqrt{1+v})^2}{2\sqrt{1-v^2}}}{(\sqrt{1+v}+\sqrt{1-v})^2}=\frac{\frac{1+v+1-v+2\sqrt{1-v^2}+1+v+1-v-2\sqrt{1-v^2}}{2\sqrt{1-v^2}}}{1+v+1-v+2\sqrt{1-v^2}}=\\=\frac{\frac{4}{2\sqrt{1-v^2}}}{2(1+\sqrt{1-v^2})}=\frac{2}{2\sqrt{1-v^2}(1+\sqrt{1-v^2})}=\frac{1}{\sqrt{1-v2}(1+\sqrt{1-v^2})}=\\=\frac{1-\sqrt{1-v^2}}{\sqrt{1-v^2}(1-1+v^2)}=\frac{1-\sqrt{1-v^2}}{v^2\sqrt{1-v^2}}\)

Zapomniałam o jednym minusie, przepraszam

ankaaa993 · Post autor: **ankaaa993** » 05 paź 2010, 05:40

skąd w przedostatnim działaniu (tuż przed wynikiem ostatecznym) wzięło się to \(1- \sqrt{1-v^{2}\) w liczniku? wymnożyłaś licznik i mianownik przez jakieś działanie?

irena · Post autor: **irena** » 05 paź 2010, 09:01

Tak, właśnie przez tę różnicę:
\(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}(1+\sqrt{1-v^2})}\ \cdot\ \frac{1-\sqrt{1-v^2}}{1-\sqrt{1-v^2}}=\\=\frac{1-\sqrt{1-v^2}}{\sqrt{1-v^2}(1^2-(\sqrt{1-v^2})^2)}=\frac{1-\sqrt{1-v^2}}{\sqrt{1-v^2}(1-1+v^2)}=\\=\frac{1-\sqrt{1-v^2}}{\sqrt{1-v^2}\cdot\ v^2}\)