pochodne funkcji

[malwina69]

a) \(y= \frac{a-x}{ \sqrt{a^{2}-x^{2}} }\)

b)\(v= \frac{z}{ \sqrt{a^{2}-z^{2}} }\)

[Lbubsazob]

Podejmę się zrobienia pierwszego przykładu, ale od razu mówię, że nie jestem pewna, czy dobrze kombinuję.
\(f(x)= \frac{a-x}{ \sqrt{a^2-x^2} } \\
g(x)=a-x \Rightarrow g'(x)=0 \\
h(x)=\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow h'(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{a^2-x^2} } \cdot (2a-2x)= \frac{a-x}{2\sqrt{a^2-x^2}} \\
\\
f'(x)= \frac{g'(x)\cdot h(x)-h'(x)\cdot g(x)}{ \left( h(x)\right)^2 }= \frac{- \left( a-x\right)^2 }{2\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^3}\)

[Pol]

trzeba ustalić co jest zmienną, wg mnie chodzi o \(x\)

stąd \((a-x)' = -1\)

jeśli obie literki są zmiennymi, nie można liczyć pochodnej po obu (po "x" i po "a") za jednym zamachem

[irena]

\(g(x)=a-x \Rightarrow g'(x)=0 \\
h(x)=\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow h'(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{a^2-x^2} } \cdot (2a-2x)= \frac{a-x}{2\sqrt{a^2-x^2}} \\

f'(x)= \frac{g'(x)\cdot h(x)-h'(x)\cdot g(x)}{ \left( h(x)\right)^2 }= \frac{- \left( a-x\right)^2 }{2\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^3}\)

\(g(x)=a-x\ \Rightarrow \ g'(x)=-1\\h(x)=\sqrt{a^2-x^2}\ \Rightarrow \ h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\)

\(f'(x)=\frac{-1\cdot\sqrt{a^2-x^2}-(a-x)\cdot\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}}{a^2-x^2}=\\=\frac{-(a^2-x^2)+x(a-x)}{(\sqrt{a^2-x^2})^3}=\frac{x(a-x)-(a-x)(a+x)}{(\sqrt{a^2-x^2})^3}=\\=\frac{(a-x)(x-a-x)}{(\sqrt{a^2-x^2})^3}=\frac{a(x-a)}{(\sqrt{a^2-x^2})^3}\)

[irena]

\(v'(z)=\frac{1\cdot\sqrt{a^2-z^2}-z\cdot\frac{-2z}{2\sqrt{a^2-z^2}}}{a^2-z^2}=\frac{a^2-z^2+z^2}{(\sqrt{a^2-z^2})^3}=\\=\frac{a^2}{(\sqrt{a^2-z^2})^3}\)

[Lbubsazob]

jeśli obie literki są zmiennymi, nie można liczyć pochodnej po obu (po "x" i po "a") za jednym zamachem

Dobrze wiedzieć, na przyszłość będę pamiętać

[malwina69]

no własnie w tym podpunkcie a też mi tak wychodziło, ale w książce jest odpowiedź:
\(y'= \frac{-a}{(a+x) \sqrt{(a+x)(a-x)} }\)

[domino21]

no bo, \(y'=\frac{a(x-a)}{(\sqrt{a^2-x^2})^3}=\frac{-a(a-x)}{(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{-a(a-x)}{(a-x)(a+x)\sqrt{(a+x)(a-x)}}=\frac{-a}{(a+x)\sqrt{(a+x)(a-x)}}\)

chodzi tylko o uproszczenie tego, co napisała Irena.

[Galen]

b)\(V(z)= \frac{z}{ \sqrt{a^2-z^2} }\)
\(V'(z)= \frac{1 \sqrt{a^2-z^2}-z \cdot \frac{-2z}{2 \sqrt{a^2-z^2} } }{(a^2-z^2)^2}=

= \frac{ \sqrt{a^2-z^2}+ \frac{z^2}{ \sqrt{a^2-z^2} } }{(a^2-z^2)^2} =

=\frac{a^2-z^2+z^2}{(a^2-z^2) \cdot \sqrt{a^2-z^2} }= \frac{a^2}{(a^2-z^2) \cdot \sqrt{a^2-z^2} }\)

[malwina69]

wiem już dzięki Wszystkim!