5 zadań: Ekstrema; Całki; Całki geometria.

[msobczyk12]

Zad 1. Wyznacz ekstrema funkcji: \(f(x,y)=x^2-xy+2y^2-x+4y-5\)

Zad 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami \(y=x^2\) oraz \(y=1-3x^2\)

Zad.3 Oblicz długości łuku krzywej danej równaniami parametrycznymi:
\(x(t)=r(cost + tsint)\);
\(y(t)=r(sint-tcost)\);
\((0<=t<=2\pi)\); \(r=const>0\)

Zad 4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej

\(y= \frac{1}{ \sqrt{x^2-1} }\); \(x \in <2,4>\)

Zad 5. Oblicz:

\(\int_{+ \infty }^{1}\frac{1}{ \sqrt[3]{x} } dx\)

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań.

[agulka]

1.
liczymy pochodne
\(f'(x) = 2x-y-1\)
\(h'(y) = -x+4y+4\)

wyznaczamy punkt stacjonarny
\(\begin{cases} 2x-y-1=0\\-x+4y+4=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}\)

\(P=(0, -1)\)

liczymy 2 pochodne

\(f''_{xx} = 2\)
\(f''_{xy} =-1\)
\(f''_{yx} =-1\)
\(f''_{yy} = 4\)

teraz hesjan
\(\begin{bmatrix}2&-1\\-1&4\end{bmatrix} = 7\)

\(\Delta >0 \wedge f''_{xx}>0\) więc w wyznaczonym punkcie wystepuje lokalne maximum

[agulka]

2.
\(x^2=1-3x^2\)

\(x=\frac{1}{2} \vee x=-\frac{1}{2}\)

\(\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (1-3x^2-x^2)dx = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (1-4x^2)dx = \left( x-\frac{4}{3}x^3\right|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{2})^3 - \left( -\frac{1}{2} - \frac{4}{3} \cdot (-\frac{1}{2})^3\right) = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{2} + \frac{4}{3} \cdot (-\frac{1}{8}) =
= \frac{1}{2}-\frac{1}{6} +\frac{1}{2}-\frac{1}{6} = \frac{2}{3}\)

[msobczyk12]

Dziękuję agulka.
Pytanie: W zadaniu drugim stosujemy wzór: \(P= \int_{a}^{b} [f(x)-g(x)]dx\)
ale, żeby wiedzieć którą krzywą wpisać jako f(x), a którą g(x) należy zrobić rysunek i z niego wywnioskować, czy jest inny sposób?