Obliczyć granice:
1. \(\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{16}+...+ \frac{1}{4^{n}} }\)
2.\(\frac{1}{n^{k}} + \frac{2}{n^{k}}+...+ \frac{n}{n^{k}}\)
granice
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Pol
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
1.
\(\lim_{n \to \infty } \frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{16}+...+ \frac{1}{4^{n}} }\)
licznik i mianownik traktujemy jako sumę \(n+1\) wyrazów ciągu geometrycznego
\(1+a+a^{2}+...+a^{n}=1 \cdot \frac{1-a^{n+1}}{1-a}=\frac {a^{n+1}-1}{a-1}
1+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{16}+...+ \frac{1}{4^{n}}=1 \cdot \frac{1- (\frac{1}{4})^{n+1} }{1-\frac 1 4}=\frac 4 3 (1-(\frac 1 4) ^{n+1})\)
\(\lim_{n \to \infty } \frac 4 3 (1-(\frac 1 4) ^{n+1}) =\frac 4 3\)
\(\lim_{n \to \infty } \frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{16}+...+ \frac{1}{4^{n}} }=\frac 3 4 \cdot \lim_{n\to \infty } \frac {a^{n+1}-1}{a-1}\)
no i teraz wszystko zależy od tego ile wynosi \(a\), np dla \(a \ > \ 1\), \(a \ = \ 1\) itd
2.
podobnie jak wyżej, tylko że ciąg arytmetyczny
\(\lim_{n\to \infty } \frac{1}{n^{k}} + \frac{2}{n^{k}}+...+ \frac{n}{n^{k}}= \lim_{n\to \infty } \frac{1+2+...+n}{n^k} =\lim_{n\to \infty } \frac {n(n+1)}{2n^k}=\lim_{n\to \infty } \frac {n+1}{2n^{k-1}}=\lim_{n\to \infty } ( \frac {1}{2n^{k-2}}+\frac {1}{2n^{k-1}})\)
i teraz trzeba przeanalizować parametr \(k\)
tylko że w treści polecenia nie stoi "oblicz granicę w zależności od parametru a bądź k" dlatego myślę że na tym można zakończyć
\(\lim_{n \to \infty } \frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{16}+...+ \frac{1}{4^{n}} }\)
licznik i mianownik traktujemy jako sumę \(n+1\) wyrazów ciągu geometrycznego
\(1+a+a^{2}+...+a^{n}=1 \cdot \frac{1-a^{n+1}}{1-a}=\frac {a^{n+1}-1}{a-1}
1+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{16}+...+ \frac{1}{4^{n}}=1 \cdot \frac{1- (\frac{1}{4})^{n+1} }{1-\frac 1 4}=\frac 4 3 (1-(\frac 1 4) ^{n+1})\)
\(\lim_{n \to \infty } \frac 4 3 (1-(\frac 1 4) ^{n+1}) =\frac 4 3\)
\(\lim_{n \to \infty } \frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{16}+...+ \frac{1}{4^{n}} }=\frac 3 4 \cdot \lim_{n\to \infty } \frac {a^{n+1}-1}{a-1}\)
no i teraz wszystko zależy od tego ile wynosi \(a\), np dla \(a \ > \ 1\), \(a \ = \ 1\) itd
2.
podobnie jak wyżej, tylko że ciąg arytmetyczny
\(\lim_{n\to \infty } \frac{1}{n^{k}} + \frac{2}{n^{k}}+...+ \frac{n}{n^{k}}= \lim_{n\to \infty } \frac{1+2+...+n}{n^k} =\lim_{n\to \infty } \frac {n(n+1)}{2n^k}=\lim_{n\to \infty } \frac {n+1}{2n^{k-1}}=\lim_{n\to \infty } ( \frac {1}{2n^{k-2}}+\frac {1}{2n^{k-1}})\)
i teraz trzeba przeanalizować parametr \(k\)
tylko że w treści polecenia nie stoi "oblicz granicę w zależności od parametru a bądź k" dlatego myślę że na tym można zakończyć