\(f(x,y)=x^2+xy+y^2-6x-1\)
Byłbym bardzo wdzięczny jak ktoś by rozwiązał to krok po kroku i mi pokazał jak to się robi. Już w czwartek poprawka
wyznaczyć ekstremum lokalne funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
na początek wyznaczmy pochodne funkcji
\(f'(x) = 2x+y-6\)
\(f'(y)=x+2y\)
teraz wyznaczmy punkt podejrzany o ekstremum
\(\begin{cases}2x+y-6=0\\x+2y=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=4\\y=-2\end{cases}\)
punktem tym jest \(M=(4, -2)\)
Teraz wyznaczamy drugie pochodne
\(f''_{xx} = 2\)
\(f''_{xy} = 1\)
\(f''_{yx} = 1\)
\(f''_{yy}=2\)
Teraz drugie pochodne wpisujemy w macierz i liczymy jej wyznacznik, jeżwli \(W>0\) to w wyznaczonym punkcie jest ekstremum jeżeli \(W<0\) to brak w tym punkcie ekstremum, ponadto jeżeli \(f''_{xx}>0\) to jest to minimum, natomiast jeżeli \(f_{xx}<0\) to jest to maksimum.
\(W=\begin{bmatrix} f''_{xx}& f''_{xy}\\f''_{yx}& f''_{yy}\end{bmatrix} = f''_{xx} \cdot f''_{yy} - f''_{xy} \cdot f''_{yx}\)
czyli:
\(W=\begin{bmatrix} 2&1\\1&2\end{bmatrix} = 4-1=3\)
\(W>0 \wedge f''_{xx}>0\) tak więc w punkcie M(4,-2) funkcja posiada ekstremum i jest to minimum
\(f'(x) = 2x+y-6\)
\(f'(y)=x+2y\)
teraz wyznaczmy punkt podejrzany o ekstremum
\(\begin{cases}2x+y-6=0\\x+2y=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=4\\y=-2\end{cases}\)
punktem tym jest \(M=(4, -2)\)
Teraz wyznaczamy drugie pochodne
\(f''_{xx} = 2\)
\(f''_{xy} = 1\)
\(f''_{yx} = 1\)
\(f''_{yy}=2\)
Teraz drugie pochodne wpisujemy w macierz i liczymy jej wyznacznik, jeżwli \(W>0\) to w wyznaczonym punkcie jest ekstremum jeżeli \(W<0\) to brak w tym punkcie ekstremum, ponadto jeżeli \(f''_{xx}>0\) to jest to minimum, natomiast jeżeli \(f_{xx}<0\) to jest to maksimum.
\(W=\begin{bmatrix} f''_{xx}& f''_{xy}\\f''_{yx}& f''_{yy}\end{bmatrix} = f''_{xx} \cdot f''_{yy} - f''_{xy} \cdot f''_{yx}\)
czyli:
\(W=\begin{bmatrix} 2&1\\1&2\end{bmatrix} = 4-1=3\)
\(W>0 \wedge f''_{xx}>0\) tak więc w punkcie M(4,-2) funkcja posiada ekstremum i jest to minimum
liczymy oddzielnie pochodne po zadanej zmiennej.krzychu89 pisze:\(f(x,y)=x^2+xy+y^2-6x-1\)
Licząc pierwszą pochodna po zmiennej "x", "y" traktujemy jak stałą, a licząc pochodną po zmiennej "y" odwrotnie
\(f'(x) = (x^2)' + (xy)' + (y^2)' - (6x)' - (1)' = 2x + y + 0 - 6 + 0 = 2x + y -6\)
\(f'(y) = (x^2)' + (xy)' + (y^2)' - (6x)' - (1)' = 0 + x + 2y - 0 - 0 = x + 2y\)
Licząc drugie pochodne postępujemy analogicznie jak przy pierwszej z tym wyjątkiem, że z każdej pierwszej pochodnej liczymy po dwie drugie pochodne po zmiennej x i po zmiennej y
\(f''_{xx}\)- 2 pochodna z pochodnej x po zmiennej x \(= (2x)' + (y)' - (6)' = 2 + 0 - 0 = 2\)
\(f''_{xy}\)- 2 pochodna z pochodnej x po zmiennej y \(= (2x)' + (y)' - (6)' = 0 + 1 - 0 = 1\)
\(f''_{yx}\)- 2 pochodna z pochodnej y po zmiennej x \(= (x)' + (2y)' = 1 + 0 = 1\)
\(f''_{yy}\)- 2 pochodna z pochodnej y po zmiennej y \(= (x)' + (2y)' = 0 + 2 = 2\)